用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：单选题

单选题

已知球O的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是，，则OB与平面ABC所成的角是（　　）

正确答案

解析

解：由题意，∵球O的表面积为4π，

∴球的半径为1，

∵A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是，，

∴∠AOB=，∠AOC=，∠BOC=，∴AO⊥面BOC

∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=，BC=1．

∴

设h为O到平面ABC的距离，则

∵S△ABC=

∴

∴h=

∴OA与平面ABC所成角的正弦值为

∴OB与平面ABC所成的角是

故选A．

题型：简答题

简答题

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．

（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）

∴，

∴COS＜＞==- …（5分）

所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）

（2）设平面ABC的法向量为则

知

知取，…（8分）

则…（10分）

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分）

解析

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）

∴，

∴COS＜＞==- …（5分）

所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）

（2）设平面ABC的法向量为则

知

知取，…（8分）

则…（10分）

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分）

题型：简答题

简答题

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1，CC1的中点．

（1）求B到平面AMN的距离

（2）求二面角B-AM-N的余弦值．

正确答案

解：（1）在四面体N-ABM中，S△ABM=，N到平面ABM的距离为a，

在△AMN中，AN==a，MN==a，AM==a，

∴cos∠MAN==，

∴sin∠MAN=，

∴S△AMN==

∴由等体积可得••a=•h，

∴h=a；

（2）设B到直线AM的距离为d，则

由等面积可得d•a=a•a，∴d=a，

由（1）知B到平面AMN的距离为a，

设二面角B-AM-N为θ，则sinθ==．

∴cosθ=．

解析

解：（1）在四面体N-ABM中，S△ABM=，N到平面ABM的距离为a，

在△AMN中，AN==a，MN==a，AM==a，

∴cos∠MAN==，

∴sin∠MAN=，

∴S△AMN==

∴由等体积可得••a=•h，

∴h=a；

（2）设B到直线AM的距离为d，则

由等面积可得d•a=a•a，∴d=a，

由（1）知B到平面AMN的距离为a，

设二面角B-AM-N为θ，则sinθ==．

∴cosθ=．

题型：简答题

简答题

如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AA1=2a，M、N分别是棱BB1，DD1的中点．

①求异面直线A1M与B1C所成的角的余弦值；

②若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，三棱锥N-A1B1C1的体积为V1，求的值．

③求平面A1MC1与平面B1NC1所成的二面角的大小．

正确答案

解：①∵A1D∥B1C

∴∠MA1D是异面直线A1M与B1C所成的角（或补角）

，

所以异面直线A1M与B1C所成的角余弦值为

②V=2a3，

，

③取AA1中点P，连接B1P、NP、MP，则四边形B1MPA1为正方形．

∵A1M⊥B1P，且B1C1⊥平面A1B1BA，

∴B1C1⊥A1M，即A1M⊥B1C1，

∴A1M⊥平面B1PNC1

即A1M⊥平面B1NC1，

∵A1M⊂平面A1MC1，

所以，平面A1MC1⊥平面B1NC．

故平面A1MC1与平面B1NC1所成二面角大小为90°．

解析

解：①∵A1D∥B1C

∴∠MA1D是异面直线A1M与B1C所成的角（或补角）

，

所以异面直线A1M与B1C所成的角余弦值为

②V=2a3，

，

③取AA1中点P，连接B1P、NP、MP，则四边形B1MPA1为正方形．

∵A1M⊥B1P，且B1C1⊥平面A1B1BA，

∴B1C1⊥A1M，即A1M⊥B1C1，

∴A1M⊥平面B1PNC1

即A1M⊥平面B1NC1，

∵A1M⊂平面A1MC1，

所以，平面A1MC1⊥平面B1NC．

故平面A1MC1与平面B1NC1所成二面角大小为90°．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xoy中，已知四点A（2，0），B（-2，0），C（0，-2），D（-2，-2），把坐标系平面沿y轴折为直二面角．

（1）求证：BC⊥AD；

（2）求二面角C-AD-O的大小；

（3）求三棱锥C-AOD的体积．

正确答案

解：（1）∵BOCD为正方形，

∴BC⊥OD，折起后OD为AD在面BOCD上的射影，由三垂线定理知：BC⊥AD（3分）

（2）设BC交OD于E点，过E作EF⊥DA于F，连接CF，则CF⊥AD，

则∠CFE为所求二面角的平面角．

显然CE=，在Rt△AOD中，OA=2，OD=2，则AD=2，，

∴tan∠CFE=，∴∠CFE=60°

∴二面角C-AD-O的大小为60°

（3）（12分）

解析

解：（1）∵BOCD为正方形，

∴BC⊥OD，折起后OD为AD在面BOCD上的射影，由三垂线定理知：BC⊥AD（3分）

（2）设BC交OD于E点，过E作EF⊥DA于F，连接CF，则CF⊥AD，

则∠CFE为所求二面角的平面角．

显然CE=，在Rt△AOD中，OA=2，OD=2，则AD=2，，

∴tan∠CFE=，∴∠CFE=60°

∴二面角C-AD-O的大小为60°

（3）（12分）

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