- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
则C1C=1，AC1=
∴sinθ=sin∠C1AC=
故选C．
（1）求证：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角P-AC--B的一个三角函数值．
正确答案
∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC；
又∵PA⊥PB，PB∩BC=B
∴PA⊥平面PBC．…..4
（2）解：作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM，
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，由三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
设
∵PA⊥PB，∴
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴
∴
解析
∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC；
又∵PA⊥PB，PB∩BC=B
∴PA⊥平面PBC．…..4
（2）解：作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM，
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，由三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
设
∵PA⊥PB，∴
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴
∴
若直线l的方向向量为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：若l∥α，则
而A中
B中
C中
故选D．
把正方形ABCD沿对角线BD折叠后得到四面体ABCD，则AC与平面BCD所成角不可能是（ ）
正确答案
解析
解：设正方形ABCD中，AC，BD的交点是O，∠ACO=m，
折叠后得到四面体ABCD，∵BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO=O
∴BD⊥平面AOC
∵BD⊂平面BCD
∴平面BCD⊥平面AOC
∴∠ACO为AC与平面BCD所成角
设正方形的边长是2，根据余弦定理得：
∵AO2=AC2+OC2-2AC×OCcosm
∴cosm=
∵0＜AC＜2
∴0＜
∴0＜cosm＜1
∴0°＜m＜90°
故选D．
（Ⅰ）证明：B1C1⊥面A1AH；
（Ⅱ）求二面角A-BC-A1的正切值；
（Ⅲ）若A1H=BC=1，求四棱锥A1-BB1C1C体积．
正确答案
解：（Ⅰ）A1H⊥面ABC于H，BC⊂平面ABC，∴A1H⊥BC，AA1∥BB1，
侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，即BC⊥A1A，∴A1A∩A=A，∴BC⊥平面A1AH，
∴证明：B1C1⊥面A1AH；
（Ⅱ）连接AH并延长交BC于P，AP=2A1H，由（Ⅰ）可知∠A1PH就是所求二面角A-BC-A1的平面角，
∵侧棱与底面ABC成30°角，
∴
所求二面角A-BC-A1的正切值：
（Ⅲ）由A1H=BC=1，所以四棱锥A1-BB1C1C体积为：
=
=
解析
解：（Ⅰ）A1H⊥面ABC于H，BC⊂平面ABC，∴A1H⊥BC，AA1∥BB1，
侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，即BC⊥A1A，∴A1A∩A=A，∴BC⊥平面A1AH，
∴证明：B1C1⊥面A1AH；
（Ⅱ）连接AH并延长交BC于P，AP=2A1H，由（Ⅰ）可知∠A1PH就是所求二面角A-BC-A1的平面角，
∵侧棱与底面ABC成30°角，
∴
所求二面角A-BC-A1的正切值：
（Ⅲ）由A1H=BC=1，所以四棱锥A1-BB1C1C体积为：
=
=
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