热门试卷

解：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系

设AB=a，BE=b，CF=c，（b＜c）

则，

F（0，c，0），D（0，0，a）（2分）

（I），

由，得3+（b-c）2=4，∴b-c=-1．

所以．

所以，

所以异面直线AD与EF成30°

（II）设为平面AEF的法向量，则，

结合，

解得．（8分）

又因为BA⊥平面BEFC，，

所以，

得到．

所以当AB为时，二面角A-EF-C的大小为45°．

（Ⅰ）证明：在正方形ADD1A1中，因为CD=AD-AB-BC=5，

所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．

因为AB=3，BC=4，

所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．（2分）

因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，

所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，

所以AB⊥平面BCC1B1．（5分）

（Ⅱ）解：因为AB⊥平面BCC1B1，

所以AB为四棱锥A-BCQP的高．

因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，

所以梯形BCQP的面积为．

所以四棱锥A-BCQP的体积．（9分）

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，

则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），

所以，，

设平面PQA的一个法向量为n1=（x，y，z）．

则即

令x=-1，则y=z=1．

所以n1=（-1，1，1）．（12分）

显然平面BCA的一个法向量为n2=（0，1，0）．

设平面PQA与平面BCA所成锐二面角为θ．

则．

所以平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值为．（14分）

解：（1）∵平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴A1A⊥BC，

∵A1B⊥C1C，A1A∥CC1

∴A1A⊥A1B，

∴A1A⊥平面A1BC，

∴A1A⊥A1C；

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C-xyz．

设AC=BC=2，

∵A1A=A1C，

则A（2，0，0），B（0，2，0），A1（1，0，1），C（0，0，0）．

=（0，2，0），=（1，0，1），==（-2，2，0）．

设=（a，b，c）为面BA1C的一个法向量，则•=•=0，

则取a=1，=（1，0，-1）．

同理，面A1CB1的一个法向量为=（1，1，-1）．

∴cos＜＞==，

∴二面角B-A1C-B1的余弦值为．

解：（1）作AO⊥平面BCD于O，连接BO，

则∠ABO为AB与平面BCD所成角．

∵AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，

∴CD⊥BO

∵AB=3，AD=2，BD=，

∴AD⊥BD，

∴∠ADO为二面角A-BD-C的平面角．

∵cos∠ABD=cos∠DBO•cos∠ABO，

∴=•cos∠ABO，

∴cos∠ABO=

∴AO=3，

∴sin∠ADO==，

∴∠ADO=60°；

（2）由（1）知，AO=3，即折后点A到面BCD的距离为3．