- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
（1）求证：AC⊥BM；
（2）求二面角M-AB-C的正切值．
正确答案
（1）证明：∵平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，
平面ABC∩平面PCBM=BC，∴AC⊥平面PCBM，
∵BM⊂平面PCBM，∴AC⊥BM；
（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，
如图，设P（0，0，z），（z＞0），
则B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z）．
由直线AM与PC所成的角为60°，得
即
解得z=
∴
由
求得
则
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的正弦值为
故二面角M-AB-C的正切值为
解析
（1）证明：∵平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，
平面ABC∩平面PCBM=BC，∴AC⊥平面PCBM，
∵BM⊂平面PCBM，∴AC⊥BM；
（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，
如图，设P（0，0，z），（z＞0），
则B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z）．
由直线AM与PC所成的角为60°，得
即
解得z=
∴
由
求得
则
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的正弦值为
故二面角M-AB-C的正切值为
（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；
（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；
（Ⅲ）当
正确答案
所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC．
因为BC∩AC=C，
所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）证明：连接BC1，交B1C于E，DE．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，
所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，
所以DE∥AC1．
因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，
所以AC1∥平面B1CD．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B（3，0，0），A（0，4，0），A1（0，0，c），B1（3，0，4）．
设D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因为点D在线段AB上，且
所以a=2，
所以
平面BCD的法向量为
设平面B1CD的法向量为
由
所以
设二面角B-CD-B1的大小为θ，
所以
所以二面角B-CD-B1的余弦值为
解析
所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC．
因为BC∩AC=C，
所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）证明：连接BC1，交B1C于E，DE．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，
所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，
所以DE∥AC1．
因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，
所以AC1∥平面B1CD．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B（3，0，0），A（0，4，0），A1（0，0，c），B1（3，0，4）．
设D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因为点D在线段AB上，且
所以a=2，
所以
平面BCD的法向量为
设平面B1CD的法向量为
由
所以
设二面角B-CD-B1的大小为θ，
所以
所以二面角B-CD-B1的余弦值为
A
B
C
D
正确答案
解析
则B（1，0，0），D1（0，1，1），E（1，
∴
可得
设异面直线EF与BD1所成角为θ，则cosθ=|
故选B
（1）求棱A1A的长；
（2）若在线段BC1上存在点P，使直线A1P⊥C1D，求二面角D-A1P-B的大小．
正确答案
解得：h=4，即A1A的长为4．（4分）
（2）以
若在线段BC1上存在点P（x，2，z）（0≤x≤2，0≤z≤4）使直线A1P⊥C1D
∵P、B、C1共线，∴
∴
由A1P⊥C1D得：（x-2，2，-2x）•（0，2，4）=0，解得：x=
此时点P的坐标为（
设平面DA1P 的法向量为
所以可取
设平面BA1P的法向量为
解析
解得：h=4，即A1A的长为4．（4分）
（2）以
若在线段BC1上存在点P（x，2，z）（0≤x≤2，0≤z≤4）使直线A1P⊥C1D
∵P、B、C1共线，∴
∴
由A1P⊥C1D得：（x-2，2，-2x）•（0，2，4）=0，解得：x=
此时点P的坐标为（
设平面DA1P 的法向量为
所以可取
设平面BA1P的法向量为
如图，一个正△ABC‘和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=8，BD=AD=
（Ⅰ）（i）求证：平面CDF∥平面AGH；（ii）求异面直线AB与CE所成角的正切值；
（Ⅱ）求二面角C-DE-F的余弦值．
正确答案
所以FDGA为平行四边形，所以FD∥AG．----------------------（1分）
又H、G分别为CE、DE的中点，所以HG∥CD．------------------（2分）
因为FD、CD⊄平面AGH，AG、HG⊂平面AGH，所以FD∥平面AGH，CD∥平面AGH，
而FD、CD⊂平面CDF，所以平面CDF∥平面AGH．---------------（4分）
（ii）解：因为DE∥AB，所以∠CED或其补角即为异面直线AB与CE所成的角．-----------（5分）
因为ABC为正三角形，BD=AD，F为AB中点，所以AB⊥CF，AB⊥DF，从而AB⊥平面CFD，
而DE∥AB，所以DE⊥平面CFD，
因为CD⊂平面CFD，所以DE⊥CD．--------------------------（7分）
由条件易得
又∠CFD为二面角C-AB-D的平面角，所以∠CFD=120°，
所以
所以
（Ⅱ） 解：由（Ⅰ）的（ii）知DE⊥平面CFD，即CD⊥DE，FD⊥DE，所以∠CDF即为二面角C-DE-F的平面角．---（12分）
所以
解法二：（Ⅰ） （i）同解法一；
（ii） 因为ABC为正三角形，BD=AD，F为AB中点，所以AB⊥CF，AB⊥DF，从而∠CFD为二面角C-AB-D的平面角且AB⊥平面CFD，而AB⊂平面ABDE，所以平面CFD⊥平面ABDE．
作CO⊥平面ABDE于O，则O在直线DF上，又由二面角C-AB-D的平面角为∠CFD=120°，故O在线段DF的延长线上．
由
以F为原点，FA、FD、FZ为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，则由上述及已知条件得各点坐标为A（0，4，0），B（0，-4，0），
所以
所以异面直线AB与CE所成角的余弦值为
从而其正切值为
（Ⅱ）由（Ⅰ）的（ii）知
设平面CDE的法向量为
令
又平面DEF的一个法向量为
所以二面角C-DE-F的余弦为
解析
所以FDGA为平行四边形，所以FD∥AG．----------------------（1分）
又H、G分别为CE、DE的中点，所以HG∥CD．------------------（2分）
因为FD、CD⊄平面AGH，AG、HG⊂平面AGH，所以FD∥平面AGH，CD∥平面AGH，
而FD、CD⊂平面CDF，所以平面CDF∥平面AGH．---------------（4分）
（ii）解：因为DE∥AB，所以∠CED或其补角即为异面直线AB与CE所成的角．-----------（5分）
因为ABC为正三角形，BD=AD，F为AB中点，所以AB⊥CF，AB⊥DF，从而AB⊥平面CFD，
而DE∥AB，所以DE⊥平面CFD，
因为CD⊂平面CFD，所以DE⊥CD．--------------------------（7分）
由条件易得
又∠CFD为二面角C-AB-D的平面角，所以∠CFD=120°，
所以
所以
（Ⅱ） 解：由（Ⅰ）的（ii）知DE⊥平面CFD，即CD⊥DE，FD⊥DE，所以∠CDF即为二面角C-DE-F的平面角．---（12分）
所以
解法二：（Ⅰ） （i）同解法一；
（ii） 因为ABC为正三角形，BD=AD，F为AB中点，所以AB⊥CF，AB⊥DF，从而∠CFD为二面角C-AB-D的平面角且AB⊥平面CFD，而AB⊂平面ABDE，所以平面CFD⊥平面ABDE．
作CO⊥平面ABDE于O，则O在直线DF上，又由二面角C-AB-D的平面角为∠CFD=120°，故O在线段DF的延长线上．
由
以F为原点，FA、FD、FZ为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，则由上述及已知条件得各点坐标为A（0，4，0），B（0，-4，0），
所以
所以异面直线AB与CE所成角的余弦值为
从而其正切值为
（Ⅱ）由（Ⅰ）的（ii）知
设平面CDE的法向量为
令
又平面DEF的一个法向量为
所以二面角C-DE-F的余弦为
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