热门试卷

（Ⅰ）证明：∵CD⊥AB，CD⊥CB，AB∩BC=B

∴CD⊥平面ABC

∵CD⊂平面ACD

∴平面ACD⊥平面ABC；

（Ⅱ）解：在平面ACB内，过C作CF⊥CB，以C为原点，以CF，CB，CD所在射线为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz（如图）

由题意，设CD=a（a＞0），则D（0，0，a），E（0，1，a），B（0，2，0），A（）

∴

由直线AE与直线CD所成角为60°，得，即，解得a=1．

∴，，，

设平面ACE的一个法向量为=（x，y，z），则，

即，取，则y=3，z=-3，得，

设BE与平面ACE所成角为θ，则，于是BE与平面ACE所成角的正弦值为．

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设OA=1

则 O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）

C（0，1，0），A1（1，0，1），O1（0，0，1）

R（．

当 时，P，

则，

所以 ．

故异面直线PM，A1C1所成角的余弦值为．

（Ⅱ）证明：设，则

P（1，λ，0），Q（1-λ，1，1），则．

所以 

而0≤λ≤1，故 点N恒在线段MR上．

（1）解：如图，

分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A1（1，0，1），B（1，1，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），A（1，0，0），C1（0，1，1）．

由，

∴．

∴==．

则A1B和B1C的夹角为；

（2）证明：∵，

∴．

∴A1B⊥AC1．

解：（1）分别以AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

假设在棱AA1上存在一点P（0，0，z0）使得DP∥平面B1AE．此时

又设AB的长度为a，平面B1AE的法向量，则

∵平面B1AE，∴，

得

取x=1，使得平面B1AE的一个法向量…（3分）

要使DP∥平面B1AE，只要，有，解得

又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时．…（6分）

（2）连接A1D，B1C，由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1得AD1⊥A1D

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C

又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1，

∴AD1⊥平面DCB1A1，

∴是平面A1B1E的一个法向量，此时…（9分）

设与所成的角为θ，则

∵二面角A-B1E-A1的大小为30°

∴|cosθ|=cos30°，即，解得a=2，即AB的长为2．…（13分）