热门试卷

（Ⅰ） 证明：以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz

则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，）

∴，=（0，1，）

从而=，∴PN⊥AM；

（Ⅱ）解：平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），

则sinθ=|cos＜，＞|==

而，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，

故λ=时，sinθ取到最大值时，tanθ=2．

（Ⅲ）解：设平面AMN的法向量为=（x，y，z）   

由•=0，•=0，得，∴可取=（1，-1，2）

∵=（，0，1）

∴d==．

解：（1）如图建立空间直角坐标系：

D（0，0，0），B（2，4，0），E（0，4，2），D1（0，0，3），

∴，=（0，0，3）

设面DBE的法向量为，

由，

令y=1，则x=-2，z=-2．

  ．

（2）A1（2，0，3），B（2，4，0），

设 直线A1B与平面BDE所成的角为θ．

所以直线A1B与平面BDE所成角的正弦值为 ．

解：（1）方法一：取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥A1B，

∴∠DFE（或其补角）即为所求．…（3分）

由题意易知，，DE=1，

由DE⊥AB、DE⊥A A1得DE⊥平面ABB1A1

∴DE⊥DF，即△EDF为直角三角形，…（3分）

∴

∴∠DFE=30°…（3分）

即异面直线EF和A1B所成的角为300．    …（1分）

方法二：

以A为坐标原点以AB、AC、AA1所在直线分别x轴、y轴、

Z轴建立如图所示的直角坐标系，…（1分）

则A1 （o，o，2）  B （2，0，0）

∵E、F分别是BC、AA1中点

∴E（1，1，0）F（0，0，）          …（4分）

∴，

设的夹角为θ

∴cosθ=

∵0≤θ≤π

∴…（4分）

∴异面直线EF和A1B所成的角为…（1分）

（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的体积

…（4分）