热门试卷

（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．

由 ABC-A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又D为BC中点，∴OD为△A1BC中位线，

∴A1B∥OD．

∵OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．

（2）解：由 ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．

如图建立空间直角坐标B-xyz．

设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），D（1，0，0）．

所以 ，

设平面ADC1的法向量为，则，

所以 ，取y=1，得．

易知平面ADC的法向量为=（0，0，1）．

由二面角C1-AD-C是锐角，得 ==．

所以二面角C1-AD-C的余弦值为．

（3）解：假设存在满足条件的点E，设E（0，a，b）．

∵E在线段A1B上，由=且其中0≤λ≤1，

即（0，a，b）=λ（0，2，1），，E（0，2λ，λ）．

∴，

以由（2）知，∵与平面ADC1成300角，

∴．

即，，

化为45λ2-18λ+29=0，

∵△＜0，∴方程无解．

所以在线段A1B上不存在点E．

（1）证明：取AB的中点M，连接MD，CD，

∵MD是△ABB1的中位线，

∴，

又∵，

∴MD∥ED，MD=ED，

∴四边形CEDM是平行四边形，

∴DE∥CMDE⊄平面ABCCM⊂平面ABC，

∴DE∥平面ABC．…（5分）

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

∵AB=AA1=4，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．

∴A（0，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），

∴，，

设面AEB1的一法向量=（x，y，z），

∵，，

∴，

∴=（2，1，-2）

又，

∴，

所以直线AF与平面AEB1所成角为．…（10分）

（1）证明：连接AN，BN，

∵△APC与△BPC是全等的正三角形，

又N是PC的中点

∴AN=BN

又∵M是AB的中点，∴MN⊥AB

同理可证MN⊥PC

又∵MN∩AB=M，MN∩PC=N

∴MN是AB和PC的公垂线；

（2）解：在等腰在角形ANB中，

∵，

∴

即异面二直线AB和PC之间的距离为．

解：（Ⅰ）在线段BC1上取中点F，连接EF、DF，

所以EF∥DA1，且EF=DA1，

∴四边形EFDA1是平行四边形…2′

∴A1E∥FD，又A1E⊄平面BDC1，FD⊂平面BDC1，

∴A1E∥平面BDC1．…4′

（II）由A1E⊥B1C1，A1E⊥C1C，可得A1E⊥平面CBB1C1．

过点E作EH⊥BC1与H，连接A1H，

则∠A1HE为二面角A1-BC1-B1的平面角，

在Rt△BB1C1中，由BB1=8，B1C1=4可得BC1边上的高为，

所以EH=，

又A1E=2，

所以tan∠A1HE=，

所以∠A1HE＞60°．

所以M在棱AA1上时，二面角M-BC1-B1总大于60°．

故棱AA1上不存在使二面角M-BC1-B1的大小为60°的点M．…12′