热门试卷

解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2和1的矩形，

侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2

所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A

∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．

又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，

∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，

∴AE⊥平面PBC，又PF⊂面PBC．

∴AE⊥PF．

（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，，0）．

∴．

设，是平面EAC的一个法向量，则由

得即

取x=1得．

而，∴．

设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=．

∴直线BO与平面AEC所成角的正弦值为．

（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，

∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC，

而AE⊂PAC，∴BC⊥AE，又PA=AC，点E是PC的中点，∴AE⊥PC，

又AE⊥BC，BC∩PC=C，∴AE⊥面PBC，而PB⊂面PBC，AE⊥PB，又EF⊥PB，AE⊥BP，AE∩EF=E，∴PB⊥平面AEF；

（Ⅱ）解：以A为坐标原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

∵PA=AC=BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0）．

，．

设平面PAB的一个法向量为，

则由，得，取y1=-1，得x1=1，z1=0，

∴．

再设平面PBC的一个法向量为，

则由，得，取z2=1，得y2=1，

∴．

∴=．

∴二面角A-PB-C的大小为60°．

解：（Ⅰ）证明：连接DB，由题知△ABD为正三角形，∴ED⊥AB，…（1分）

∵AB∥DC，∴ED⊥DC，

又PD⊥平面ABCD，∴ED⊥PD，∴ED⊥平面PDC；…（3分）

（Ⅱ）解法一：作DM⊥EC于点M，连接PM，

∵DM为斜线PM在平面ABCD的射影，∴PM⊥EC，

∴∠DMP为二面角P-EC-D的平面角，故，…（5分）

在直角三角形DEC中，，

因为，所以．…（7分）

解法二：以点D为原点O，射线DE，DC，DP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向

建立空间直角坐标系O-xyz．则，…（4分）

设平面PEC的法向量为，，

可得，…（5分）

又平面DEC的法向量可为，由

化简得．…（7分）

（Ⅲ） 解法一：设平面PBA的法向量为，

，

可得，…（8分）

又，因此sinθ===…（10分）

解法二：设点C到平面PAB的距离为h，则，…（8分）

又，因为VP-ABC=VC-PAB，所以，…（9分）

因此sinθ=．…（10分）

解：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间坐标系

则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，，），D（，0，0）

  设BE=x，则E（x，1，0）

∴=（x，1，-1）

得=x•0+1×+（-1）×=0

可得，即AF⊥PE成立；

（2）求出=（，0，-1），设平面PDE的一个法向量为

则，得

∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，=（0，0，1）

∴sin45°==，得=

解之得x=或x=

∵BE=x，

∴BE=，即当BE等于时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．