热门试卷

解：（1）以CD，CB，CC1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=a，AA1=b，则D（a，0，0），A（a，a，0），

B（0，a，0），C1（0，0，b），A1（a，a，b）------------------------------分2分

∴

由A1C⊥平面BDC1可得：即-a2+a2=0显然成立，------4分

及即-a2+b2=0，

可得：a=b即此正四棱柱为正方体------------6分

由外接球表面积为4πr2=3π，可得：----------------------------------7分

∴求得正方体的棱长为1，∴正方体的体积为1；-----------------8分

（2）由（1）可知：为平面BEF的一个法向量，且----------------9分

同理可证为平面CEF的一个法向量，且--------------------10分

∵--------------------------13分

∴平面BEF与平面CEF所成的锐二面角的大小为---------------------14分

（1）证明：以O点为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系数，

则O（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，-2，0），P（0，0，2），G（0，1，0），E（0，-1，1），F（1，0，1）．

∴，，．

设平面OBE的法向量为，

则，令y=1，解得，

∴，∴，

∵G∉平面BOE，∴FG∥平面BOE；

（2）由 （1）的证法二可知．平面OBE的法向量为．

设平面BGF的法向量为，又，

则，令c=1，则，

设二面角EO-B-FG的平面角为θ，则==

由由图易知二面角EO-B-FG的平面角为锐角，

∴二面角EO-B-FG的余弦值为．

解：（1）连接BD交AC于点M，若DE∥平面AFC，

则DE∥FM，点M为BD中点，则F为棱BE的中点…（4分）

（2）AD=，AE=2，DE=，∴DA⊥AE．

又四边形ABCD为矩形，∴DA⊥面ABE．

解法一（向量法）：

以AB中点O为坐标原点，以OE为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

则=（，1，-），=（，-1，-），

设平面DCE的法向量n=（x，y，z），

∴，即

令x=1，则n=（1，0，1）．

=（，，-），=（，-，-）．

设平面DCF的法向量m=（x，y，z）．

，即

令x=2，则m=（2，0，1）．

设二面角E-DC-F的平面角为θ，cosθ==…（12分）

解法二（几何法）：

设二面角E-DC-A的平面角为α，

取AB中点O，CD中点N，

EO⊥平面ACD，ON⊥CD，

∴∠ONE就是二面角E-DC-A的平面角…（6分）

∴∠ONE=α，tanα=1…（8分）

同理设二面角F-DC-A的平面角为β，

tanβ=…（10分）

设二面角E-DC-F为θ，θ=α-β，

∴tanθ=，

∴cosθ=…（12分）

（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，∴PC⊥BC．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．

∴=（1，-1，-1），，=（1，0，0）．

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，

令y=1，则x=0，z=1.=（0，1，1）．

∴点A到平面PBC的距离d==．

（3）由（2）可得=（0，2，0），=（1，1，-1）．

设平面PAB的法向量为=（a，b，c），则，令a=1，则c=1，b=0．

∴．

∴==，

由图形上看：二面角A-PB-C的平面角应是一个钝角，故其余弦值为．