热门试卷

解：（I）由题知A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BC，

取AB的中点E，连接CE，DE，易证得BE∥CD，且BE=CD，所以四边形ABCD为直角梯形，AB⊥DA，

又因为AB=2DC，AB∥DC，所以AB⊥CE，且AB=2CE，

所以平行四边形ADCE是正方形，

因此DE⊥AC，所以BC⊥AC，

因为AA1∩AC=A，

所以BC⊥平面A1AC

（II）由（I）知AD，AB，AA1两两垂直，故分别以AD，AB，AA1所在方向为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，且DC=1，设（0，0，z）（z＞0），

则由题设条件知A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0）

∴=（1，1，-z），=（1，0，-z），=（1，-1，0），

因为异面直线A1D与BC所成的角为60°，

所以|cos＜，＞|==，解得z=1

设=（a，b，c）为平面A1DC的一个法向量，则，即，解得b=0

设a=1，则c=1，所以=（1，0，1）

由（I）知=（1，-1，0）为平面A1AC的一个法向量，

∴cos＜，＞=

由图知二面角A-A1C-D为锐角

所以二面角A-A1C-D的大小为60°

（1）证明：∵AB=AD=，O是BD的中点

∴AO⊥BD

又∵BD=2

∴AD=

∵CB=CD=2

∴OC=

∵AO2+OC2=4=AC2

∴∠AOC=90°

∴AO⊥OC   

 又∵BD∩OC=O

∴AO⊥面BCD

∴AO⊥BC

（2）解：分别以OB、OC、OA为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则 B（1，0，0）、C（0，，0）、A（0，0，1）、D（-1，0，0）=（0，，-1）（-1，，0）=（1，，0）

设面ABC面ACD的法向量分别为=（1，y1，z1），=（1，y2，z2）

∴⇒=（1，-，1）⇒=（1，-，-1）

∴cos＜，＞==-

∴二面角B-AC-D的余弦值为-

证明：（Ⅰ）因为DC=SD=2，，

由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，

又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD⊂平面SDC，

所以，SD⊥平面ABCD．…（3分）

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DC，SD⊥AD，又AD⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．…（4分）

于是，，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），，，

设为平面CAM的一个法向量，

则，得…（6分）

又，设为平面AMB的一个法向量，

则，得…（8分）

因为，所以二面角C-AM-B为…（9分）

（Ⅲ）设N（m，2，0），（m＞0），则，由公式，得，

所以所求点N为线段BC的中点…（12分）

解：（1）如图，

分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2）．

因为E为BC中点，F为CD中点，所以．

由题意得D1E⊥AF，D1E⊥AG，设G（1，1，t）．

又， ．

则由，得1-2t=0，t=．

∴．

则G为BB1的四等分点；

（2）由题意知，平面AFE的一个法向量为，

设平面AFG的法向量．

则，得，取x=-1，得．

∴=．

∴二面角G-AF-E的平面角余弦值为．