热门试卷

解：（1）∵PA⊥平面ABCD且ABCD为矩形，∴分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz

∵AP=AB=1，BC=2∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）

（2）设Q（1，y，0），则∵PQ⊥QD∴∴1+y（y-a）+0=0即y2-ay+1=0    （*）

∵Q在边BC上，

∴a＞0且△=a2-4≥0

∴a≥2，即a的取值范围是[2，+∞）

（3）当BC边上有且仅有一个Q点，方程（*）有等根，

∴y=1，此时a=2

显然平面PAD的一个法向量为=（1，0，0）

设平面PQD的一个法向量为=（x，y，z），则且

由（2）知，∴，

不妨取x=1，则y=1，z=2，

∴=（1，1，2）

由图可知，二面角Q-PD-A为锐角，设为α

，即二面角Q-PD-A即的余弦值为

解：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．

又，

由平面几何知识，得OD=OC=1，BO=AO=2．

以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如右图所示的空间直角坐标系，

则各点坐标分别为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），

C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，）．

（I）由上易知，，

∴，，，

∴，

故直线PD与BC所成的角的余弦值为．

（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），

由（I）得，，

又由得．

令x=1，得，从而．

由图可知，平面ABC的一个法向量为，从而．

∴cos=．

显然二面角P-AB-C为锐角，∴所求二面角P-AB-C的大小为45°．

（I）证明：由三视图可得，三棱锥A-BCD中

∠ADB，∠ADC，∠DBC，∠ABC都等于90°，

每个面都是直角三角形；

如图，

可得CB⊥面ADB，所以CB⊥DE，

又DE⊥AB，AB∩BC=B，所以DE⊥面ABC，

而AC⊂面ABC，所以DE⊥AC，

又DF⊥AC，DE∩DF=D，所以AC⊥面DEF．

（II）解：由（I）知∠DFE为二面角B-AC-D的平面角，

在直角三角形ADB中，由AD=2，DB=1，所以AB=，

所以

在直角三角形DBC中，因为DB=BC=1，所以DC=，在直角三角形ADC中，

AD=2，DC=，所以AC=，

所以

在直角三角形DEF中，

∴．

∴．

解：（1）以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，

因为AC=3，BC=4，AA1=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1=（0，0，4），

所以，因为，

所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以，

因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，

所以　，解得．…（4分）

（2）由（1）得B1（0，4，4），因为 D是AB的中点，所以，

所以，，平面CBB1C1的法向量 =（1，0，0），

设平面DB1C的一个法向量=（x0，y0，z0），

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB1-B的大小，

由得令x0=4，则y0=-3，z0=3，

所以=（4，-3，3），

∴cos＜，＞===．

所以二面角D-B1C-B的余弦值为．   …（10分）