用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

· 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为，D点在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°．

（Ⅰ）求D点坐标；

（Ⅱ）求的值．

正确答案

解：（Ⅰ）如图，

在平面yoz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H．

在△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，

得，，，

∴D点坐标为；

（Ⅱ）由，得，

由题设知：B（0，-1，0），C（0，1，0），

∴，，

，，

∴==．

解析

解：（Ⅰ）如图，

在平面yoz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H．

在△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，

得，，，

∴D点坐标为；

（Ⅱ）由，得，

由题设知：B（0，-1，0），C（0，1，0），

∴，，

，，

∴==．

题型：单选题

单选题

已知四边形ABCD满足•＞0，•＞0，•＞0，•＞0，则该四边形为（　　）

A平行四边形

B梯形

C平面四边形

D空间四边形

正确答案

解析

解：∵四边形ABCD满足•＞0，•＞0，•＞0，•＞0，即，有两向量的夹角公式可得∴cos＞0．有两向量的夹角的定义可以知道四边形中同理这个四边形的A，D内角都大于90°，C角为锐角，则这与平面四边形中不可能有三个角为钝角矛盾．

故选D．

题型：简答题

简答题

右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面），被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=900，AA1=4，BB1=2，CC1=3

（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1

（II）求AB与平面AA1CC1所成角的大小．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．

则OD∥AA1交A1B1于D，连C1D因为O是AB的中点，

所以．

则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D，C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1

则OC∥面A1B1C1． …．（7分）

（Ⅱ）解：如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2，

作BH⊥A2C2于H，

因为平面A2BC2⊥平面AA1C1C，则BH⊥面AA1C1C．

连接AH，则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角．

因为，，所以．AB与面AA1C1C所成的角为．…．（14分）

解法二：

（Ⅰ）证明：如图，以B1为原点建立空间直角坐标系，则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），因为O是AB的中点，所以，，

易知，是平面A1B1C1的一个法向量．

由且OC⊄平面A1B1C1知OC∥平面A1B1C1．

…．（7分）

（Ⅱ）设AB与面AA1C1C所成的角为θ．

求得，．

设是平面AA1C1C的一个法向量，则由得，

取x=y=1得：．

又因为，，

所以，，则．

所以AB与面AA1C1C所成的角为．…．（14分）

解析

解：（Ⅰ）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．

则OD∥AA1交A1B1于D，连C1D因为O是AB的中点，

所以．

则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D，C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1

则OC∥面A1B1C1． …．（7分）

（Ⅱ）解：如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2，

作BH⊥A2C2于H，

因为平面A2BC2⊥平面AA1C1C，则BH⊥面AA1C1C．

连接AH，则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角．

因为，，所以．AB与面AA1C1C所成的角为．…．（14分）

解法二：

（Ⅰ）证明：如图，以B1为原点建立空间直角坐标系，则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），因为O是AB的中点，所以，，

易知，是平面A1B1C1的一个法向量．

由且OC⊄平面A1B1C1知OC∥平面A1B1C1．

…．（7分）

（Ⅱ）设AB与面AA1C1C所成的角为θ．

求得，．

设是平面AA1C1C的一个法向量，则由得，

取x=y=1得：．

又因为，，

所以，，则．

所以AB与面AA1C1C所成的角为．…．（14分）

题型：简答题

简答题

设向量，计算，及与的夹角，并确定当λ，μ满足什么关系时，使与z轴垂直．

正确答案

解：∵=（3，5，-4），=（2，1，8），

∴2+3=（12，13，16），3-2=（5，13，-28），•=-21．

又与的夹角的余弦为

∴与的夹角是arccos

∵z轴的方向向量为（0，0，1），

λ+μ=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），

∵λ+μ与z轴垂直，则0•（3λ+2μ）+0•（5λ+μ）+（-4λ+8μ）=0，即8μ-4λ=0，∴λ=2μ．

∴λ=2μ时，λ+μ与z轴垂直．

解析

解：∵=（3，5，-4），=（2，1，8），

∴2+3=（12，13，16），3-2=（5，13，-28），•=-21．

又与的夹角的余弦为

∴与的夹角是arccos

∵z轴的方向向量为（0，0，1），

λ+μ=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），

∵λ+μ与z轴垂直，则0•（3λ+2μ）+0•（5λ+μ）+（-4λ+8μ）=0，即8μ-4λ=0，∴λ=2μ．

∴λ=2μ时，λ+μ与z轴垂直．

题型：简答题

简答题

如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点．

（1）求异面直线AE和BF所成的角的余弦值；

（2）求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值．

正确答案

解：（1）建立坐标系，以D为原点，DA为x轴建立坐标系

A（1，0，0），，B（1，1，0），

，

异面直线AE和BF所成的角的余弦值是；

（2）平面BDD1的一个法向量为

设平面BFC1的法向量为

∴

取z=1得平面BFC1的一个法向量

，

∴所求的余弦值为

解析

解：（1）建立坐标系，以D为原点，DA为x轴建立坐标系

A（1，0，0），，B（1，1，0），

，

异面直线AE和BF所成的角的余弦值是；

（2）平面BDD1的一个法向量为

设平面BFC1的法向量为

∴

取z=1得平面BFC1的一个法向量

，

∴所求的余弦值为

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 导数的概念

百度题库 > 高考 > 数学 > 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

扫码查看完整答案与解析