用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知l∥α，且l的方向向量为（2，-8，1），平面α的法向量为（1，y，2），则y=______．

正确答案

解析

解：∵l∥α，

∴l的方向向量（2，-8，1）与平面α的法向量（1，y，2）垂直，

∴2×1-8×y+2=0，

解得y=．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=2，F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E=λEC1（λ为实数）．

（1）当时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；

（2）求证：直线EF不可能与直线EA垂直．

正确答案

（1）解：建立如图所示的直角坐标系，

则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，，2），F（1，4，0），则

当时，E（0，1，2），=（1，3，-2），设平面D1AC的法向量为，则

由，可得，所以可取

∴cos===

∴直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为；

（2）证明：假设EF⊥EA，则

∵=（2，-，-2），=（1，4-，-2），

∴2-（4-）+4=0

∴3λ2-2λ+3=0

∵该方程无解，∴假设不成立，即直线EF不可能与直线EA垂直．

解析

（1）解：建立如图所示的直角坐标系，

则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，，2），F（1，4，0），则

当时，E（0，1，2），=（1，3，-2），设平面D1AC的法向量为，则

由，可得，所以可取

∴cos===

∴直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为；

（2）证明：假设EF⊥EA，则

∵=（2，-，-2），=（1，4-，-2），

∴2-（4-）+4=0

∴3λ2-2λ+3=0

∵该方程无解，∴假设不成立，即直线EF不可能与直线EA垂直．

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题型：简答题

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简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．

（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

正确答案

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），从而．…（2分）

设平面PBD的一个法向量为，则

即

令z=1，得=（，2，1）

所以点C到平面PBD的距离…（6分）

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，

由NE⊥面PAC可得，即

∴x=，z=1 …10 分

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1， …（12分）

解析

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），从而．…（2分）

设平面PBD的一个法向量为，则

即

令z=1，得=（，2，1）

所以点C到平面PBD的距离…（6分）

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，

由NE⊥面PAC可得，即

∴x=，z=1 …10 分

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1， …（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．

（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；

（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．

正确答案

解：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．

则，．连接BD，B‘D'．

在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．

设，由已知，

由

可得．解得，所以．（4分）

（Ⅰ）因为，

所以．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）

（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是．

因为，所以．

可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标

系D-xyz．则，，．

设P（x，y，z）则，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）

∴，则，由已知，，

cos==

∴λ2-4λ+2=0，解得，∴（4分）

（Ⅰ）因为，

所以．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）

（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是．

因为，所以．

可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

解析

解：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．

则，．连接BD，B‘D'．

在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．

设，由已知，

由

可得．解得，所以．（4分）

（Ⅰ）因为，

所以．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）

（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是．

因为，所以．

可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标

系D-xyz．则，，．

设P（x，y，z）则，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）

∴，则，由已知，，

cos==

∴λ2-4λ+2=0，解得，∴（4分）

（Ⅰ）因为，

所以．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）

（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是．

因为，所以．

可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

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题型：简答题

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简答题

底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中，，BC=1，PA=2，侧棱PA⊥底面ABCD，E为PD的中点

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．

正确答案

解：（1）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示

可得、、D（0，1，0）、

P（0，0，2）、，

从而．

设的夹角为θ，则

，

∴AC与PB所成角的余弦值为

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），

则，

由NE⊥面PAC可得，，即

化简得，即，可得N点的坐标为，

从而侧面PAB内存在点N，使NE⊥面PAC，N点到AB和AP的距离分别为．

解析

解：（1）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示

可得、、D（0，1，0）、

P（0，0，2）、，

从而．

设的夹角为θ，则

，

∴AC与PB所成角的余弦值为

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），

则，

由NE⊥面PAC可得，，即

化简得，即，可得N点的坐标为，

从而侧面PAB内存在点N，使NE⊥面PAC，N点到AB和AP的距离分别为．

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