热门试卷

解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为坐标轴，建立O-xyz坐标系，

则，，，

设平面BDD1B1的一个法向量为=（x，y，z）

由，可得z=0，令x=3，则y=-4，

可得平面BB1D1D的一个法向量=（3，-4，0），∴．

设直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ====．

故直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值是．

（I）证明：取AB的中点为O．

∵AE=BE=，AB=2，

∴△AEB为等腰直角三角形

∴EO⊥AB，EO=1

∵AB=BC，∠ABC=60°

∴△ACB是等边三角形，∴CO=

∵EC=2

∴EC2=EO2+CO2

∴EO⊥C0，

∵CO∩AB=O

∴EO⊥平面ABCD，

∵EO⊂平面EAB，

∴平面EAB⊥平面ABCD；

（Ⅱ）以AB中点O为坐标原点，分别以OC，OB，OE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），C（，0，0），D（，-2，0），E（0，0，1）

∴

设平面CDE的法向量=（x，y，z），则由，可得

∴可取=

设直线AE与平面CDE所成角为θ，则sinθ===

∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值是．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AD∥BC，BC=AD，O为AD的中点，

∴四边形BCDO为平行四边形，

∴CD∥BO．         

∵∠ADC=90°

∴∠AOB=90°  即OB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BO⊥平面PAD．             

∵BO⊂平面POB，

∴平面POB⊥平面PAD．      

（Ⅱ）∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．

（不证明PO⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以O为原点建立空间直角坐标系．

则平面BOC的法向量为；O（0，0，0），，，

．

设M（x，y，z），

则，，

∵，

∴，

∴，

在平面MBO中，，，

∴平面MBO法向量为．

∵二面角M-BO-C为30°，，

∴t=3． 

，

==，

=

cos∠OBM==||=．

解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz（如图），

AD=1，PD=1，AB=2a（a＞0），

则E（a，0，0），C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），．得，，

由，得，即EF⊥AB

同理EF⊥PB，又AB∩PB=B

所以，EF⊥平面PAB

（Ⅱ）解：由，得，，．

有，，

设平面AEF的法向量为n=（x，y，1），由，解得．于是

设AC与面AEF所成的角为θ，与n的夹角为．

则．

所以，AC与平面AEF所成角的大小的正弦值为