热门试卷

（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，tan∠DAC=，AD=10，

∴OA=8，OD=6                    …（1分）

翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，，…（3分）

在△AOC中，OA2+OC2=128=AC2，…（4分）

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，

∴AO⊥平面BCD，

又AO⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面CBD．                    …（6分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A（0，0，8），B（0，-6，0），C（8，0，0）D（0，6，0）M（0，-3，4），…（7分），，…（8分）

设平面MCD的一个法向量为，则由，得，…（10分）

令y=4，有，…（11分）

设AC与平面MCD所成角为θ，则，…（13分）

∴AC与平面MCD所成角的余弦值为，…（14分）

（I）证明：∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴PD、DC、DA两两互相垂直                           …（1分）

∴以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则                …（2分）

E（2，1，0），F（1，1，1），C（0，2，0），D（0，0，0）…（3分）

直线EF的方向向量为，平面PAD的法向量为…（4分）

∵

∴EF∥平面PAD…（5分）

（II）解：由（I）知，直线EF的方向向量为，…（6分）

直线CD的方向向量为，…（7分）

∵…（8分）

∴直线EF与CD所成的角为90°…（9分）

（III）P（0，0，2），B（2，2，0），E（2，1，0），F（1，1，1），C（0，2，0），D（0，0，0）

故，，则平面ECB的法向量为…（10分）

设平面ECF的法向量为，则，，令x=1，则y=2，z=1

故…（12分）

∵，由图可知，二面角F-EC-B为钝角，

∴二面角F-EC-B的余弦值为．…（14分）

（Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AB=2，AD=2，BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cos45°=4，∴BD=2，

∴AD2=AB2+BD2，∴AB⊥BD，

∵平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD

∴AB⊥平面CBD，

∵DC⊂平面CBD，

∴AB⊥DC；       

（Ⅱ）解：在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的射线为z轴，建立如图空间直角坐标系．

则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

设平面ABC的法向量为

∵

∴，∴取

设平面DAC的法向量为

∵

∴，∴取

∴cos＜＞==

∴二面角B-AC-D平面角的大小为60°；

（Ⅲ）解：由于△ABC，△ADC均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心是AC的中点

∵AC=，∴R=

∴四面体ABCD外接球的体积为=4π．