热门试卷

（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，

∵BC∥AD，，E为AD中点，∴AE∥BC，且AE=BC．

∴四边形ABCE为平行四边形，则O为AC中点．

又F为PC中点，∴OF∥PA．∵OF⊂平面BEF，PA⊄平面BEF．∴PA∥平面BEF．

（Ⅱ）解：∵PA=PD，E为AD中点，∴PE⊥AD．

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD．

易知 BCDE为正方形，∴AD⊥BE．

建立如图空间直角坐标系E-xyz，

设PE=t（t＞0），

则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，t），C（-1，1，0）

∴．

∵PC与AB所成角为45°，

∴=

=，

解得：，∴．

（Ⅲ）解：∵F为PC的中点，所以，

，，

设是平面BEF的法向量，

则 

取x=2，则，得．

是平面ABE的法向量．

∴．

由图可知二面角E-AC-B的平面角是钝角，

所以二面角E-AC-B的余弦值为．

（Ⅰ）证明：由余弦定理得BD==，

∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，

∵AB∥CD，∴BD⊥DC，

∵PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

∴BD⊥PD，

又PD∩DC=D，

∴BD⊥底面PDC，

又PC⊂面PDC，

∴BD⊥PC；

（Ⅱ）解：已知AB=1，AD=CD=2，PD=1，由（Ⅰ）知BD⊥底面PDC，

以D为坐标原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图：

则D（0，0，0），B（，0，0），P（0，0，1），M（0，1，），

则=（，0，0），=（0，1，），=（0，-2，1），=（，-2，0），

设平面BDM的法向量为=（x，y，z），则

令z=2，则y=-1，可取=（0，-1，2），

同理设平面BMP的法向量为=（，1，2），

∴cos＜，＞===，

∴求二面角D-BM-P的余弦值为．

解：（I）∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC

又∵AB⊥平面AA1C1C，AB⊥AC，AB⊥AA1，

∴AA1⊥平面ABC，由AC=4，AB=3，得BC=5，

以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），

C1（4，0，4），则=（4，0，4），=（0，3，-4），

cos＜＞===-．

故直线A C1与直线A1B夹角的余弦值为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），

C1（4，0，4），∴=（0，-3，4），=（4，-3，4），

=（0，0，4），

设平面A1BC1的法向量为=（x1，y1，z1），

平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．

则，

令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴=（0，4，3），

（1）证明：连接EA，

∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点-------（1分）

∴在△EAB中，GH∥AB--（2分）

又∵AB∥CD，∴GH∥CD，--（3分）

∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE

∴GH∥平面CDE----（4分）

（2）解：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM

∵BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD

∵EM⊂平面EMD，∴BC⊥EM

∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------（12分）

∵

∴DM=BC=1，EM==

∴sin∠EMD==

即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值为