用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

各棱长均为2的斜三棱柱ABC-DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE=O，AB=AE，连接AO．

（I）求证：AO⊥平面FEBC．

（II）求二面角B-AC-E的大小．

（III）求三棱锥B-DEF的体积．

正确答案

解：（I）因为BCFE是菱形，所以BF⊥EC．

又因为BF⊥AE，且AE∩ED=E，所以BF⊥平面AEC．

而AO⊂平面SEC，所以BF⊥AO，

因为AE=AB，AB=AC，

所以AE=AC．

所以AO⊥EC，且BF∩EC=O，所以AO⊥平面BCFE．

（II）取AC的中点H，连接BH，OH，

因为△ABC是等边三角形，

所以BH⊥AC．

因为OB⊥平面ACE，

所以OH是BH在平面AOC上的射影，所以OH⊥AC．

所以∠OHB是二面角B-AC-E的平面角．

因为△AOE≌△AOB，所以OE=OB．

所以四边形BCFE为正方形．

在直角△BCO中，BH=，BO=，

所以sin∠BHO=arcsin．

所以二面角B-AC-E的大小为arcsin．

（III）∵DA∥BE，BE⊂平面BCFE，

∴DA∥平面BCFE，

∴点D、A到平面BCFE的距离相等

∴VB-DEF=VD=BEF=VA-BEF

∴．

解析

解：（I）因为BCFE是菱形，所以BF⊥EC．

又因为BF⊥AE，且AE∩ED=E，所以BF⊥平面AEC．

而AO⊂平面SEC，所以BF⊥AO，

因为AE=AB，AB=AC，

所以AE=AC．

所以AO⊥EC，且BF∩EC=O，所以AO⊥平面BCFE．

（II）取AC的中点H，连接BH，OH，

因为△ABC是等边三角形，

所以BH⊥AC．

因为OB⊥平面ACE，

所以OH是BH在平面AOC上的射影，所以OH⊥AC．

所以∠OHB是二面角B-AC-E的平面角．

因为△AOE≌△AOB，所以OE=OB．

所以四边形BCFE为正方形．

在直角△BCO中，BH=，BO=，

所以sin∠BHO=arcsin．

所以二面角B-AC-E的大小为arcsin．

（III）∵DA∥BE，BE⊂平面BCFE，

∴DA∥平面BCFE，

∴点D、A到平面BCFE的距离相等

∴VB-DEF=VD=BEF=VA-BEF

∴．

题型：填空题

填空题

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC=1，A1C与平面ABC所成的角为．

（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1DC；

（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的大小．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）连接AC1，与A1C交于O，

因为是正三棱柱ABC-A1B1C1，所以侧面是平行四边形，

所以O是AC1的中点，又D是棱AB的中点，

所以OD∥BC1，

因为OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，

所以BC1∥平面A1DC；

（Ⅱ）分别以AC，AA1为y，z轴，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

因为正三棱柱ABC-A1B1C1中点D是棱AB的中点，BC=1，A1C与平面ABC所成的角为．

所以AA1⊥底面ABC，

所以∠A1AC为A1C与平面ABC所成的角为．

所以A1C=2，AA1=．

则A（0，0，0），D（，，0），C（0，1，0），A1（0，0，），

所以=（0，-1，），=（0，1，0），=（，，0），

所以平面ACA1的法向量为=（1，0，0），平面CDA1的法向量为=（x，y，z），则

，即，令z=1，得到一个法向量=（3，，1），

所以cos＜＞==；

所以二面角D-A1C-A的大小为arccos．

题型：简答题

简答题

如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，E、F分别为SA、SC的中点．如果AB=BC=2，AD=1，SB与底面ABCD成60°角．

（1）求异面直线EF与CD所成角的大小（用反三角形式表示）；

（2）求点D到平面SBC的距离．

正确答案

解：（1）连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角．

计算得：AC=2，CD= ，

所以异面直线 EF与CD成角．

另解：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系

计算SA=2 、

计算得，所以异面直线 EF与CD成角

（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°

计算得：S△BCD=2

由于

所以

解析

解：（1）连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角．

计算得：AC=2，CD= ，

所以异面直线 EF与CD成角．

另解：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系

计算SA=2 、

计算得，所以异面直线 EF与CD成角

（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°

计算得：S△BCD=2

由于

所以

题型：简答题

简答题

（2015秋•沧州月考）如图，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将△ABO沿OA折起，使二面角B-OA-C为直二面角．

（Ⅰ）在底面△BOC的边BC上是否存在一点P，使得OP⊥GH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）求二面角A-GH-D的余弦值．

正确答案

解：（Ⅰ）H，G分别为△AOB和△AOC的重心；

∴；

连接EF，则GH∥EF；

由已知，EF∥BC，∴GH∥BC；

∵OA⊥OB，OA⊥OC，二面角B-OA-C为直二面角；

∴∠BOC为直角；

∴在Rt△BOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OP⊥BC，又BC∥GH；

∴OP⊥GH，则由摄影定理得：OB2=BP•BC；

∴；

（Ⅱ）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（），；

∴，；

设为平面AGH的法向量，则：

；

取x1=1，则y1=2，z1=1，∴；

设为平面DGH的法向量，则：

；

取x2=1，则；

∴；

∴由图可知二面角A-GH-D为锐角，∴该二面角的余弦值为．

解析

解：（Ⅰ）H，G分别为△AOB和△AOC的重心；

∴；

连接EF，则GH∥EF；

由已知，EF∥BC，∴GH∥BC；

∵OA⊥OB，OA⊥OC，二面角B-OA-C为直二面角；

∴∠BOC为直角；

∴在Rt△BOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OP⊥BC，又BC∥GH；

∴OP⊥GH，则由摄影定理得：OB2=BP•BC；

∴；

（Ⅱ）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（），；

∴，；

设为平面AGH的法向量，则：

；

取x1=1，则y1=2，z1=1，∴；

设为平面DGH的法向量，则：

；

取x2=1，则；

∴；

∴由图可知二面角A-GH-D为锐角，∴该二面角的余弦值为．

题型：简答题

简答题

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．

（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；

（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．

正确答案

解：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系

C-xyz．

则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．

所以=（-2，0，1），=（0，-2，-2）．

所以cos＜＞===-．

即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为．

（2）因为=（0，2，0），=（2，0，0），=（0，0，2），

所以•=0，•=0，

所以为平面ACC1A1的一个法向量．

因为=（0，-2，-2），=（2，0，1），

设平面B1DC的一个法向量为n，n=（x，y，z）．

由，得

令x=1，则y=2，z=-2，n=（1，2，-2）．

所以cos＜n，＞===．

所以二面角B1-DC-C1的余弦值为．

解析

解：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系

C-xyz．

则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．

所以=（-2，0，1），=（0，-2，-2）．

所以cos＜＞===-．

即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为．

（2）因为=（0，2，0），=（2，0，0），=（0，0，2），

所以•=0，•=0，

所以为平面ACC1A1的一个法向量．

因为=（0，-2，-2），=（2，0，1），

设平面B1DC的一个法向量为n，n=（x，y，z）．

由，得

令x=1，则y=2，z=-2，n=（1，2，-2）．

所以cos＜n，＞===．

所以二面角B1-DC-C1的余弦值为．

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