用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：填空题

填空题

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，AA1=1，那么=______．

正确答案

60°

解析

解：以DA所在直线为横轴，DC所在直线为纵轴，DD1所在直线为竖轴建立如图的坐标系，

由在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，AA1=1，可得A1（，0，1），B（，，0），C（0，，0），C1（0，，1），

故=（0，-，1），=（0，0，1）

cos==

∴=60°

故答案为60°

题型：简答题

简答题

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．

（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；

（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为．

正确答案

解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），

，．

所以==，

所以向量与所成的角为，

故AA1与棱BC所成的角是．

（2）设P为棱B1C1上的点，

由，得P（2λ，4-2λ，2）．

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），

，，

由，得，

取x=1，得z=-λ，故=（1，0，-λ）．

而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），

则=，

解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．

解析

解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），

，．

所以==，

所以向量与所成的角为，

故AA1与棱BC所成的角是．

（2）设P为棱B1C1上的点，

由，得P（2λ，4-2λ，2）．

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），

，，

由，得，

取x=1，得z=-λ，故=（1，0，-λ）．

而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），

则=，

解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．

题型：简答题

简答题

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求证：BD⊥平面POA；

（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．

正确答案

（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．

∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）

（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．

设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，

故BD=4，．

又设PO=x，则，，

所以O（0，0，0），P（0，0，x），，，

故，

所以，

当时，．此时，…（6分）

设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知，，则，，，．

∴，，

∵，∴．

∴，∴．（10分）

设平面PBD的法向量为，则．

∵，，∴

取x=1，解得：y=0，z=1，所以．…（8分）

设直线OQ与平面E所成的角θ，

∴=．…（10分）

又∵λ＞0∴．∵，∴．

因此直线OQ与平面E所成的角大于，即结论成立．…（12分）

解析

（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．

∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）

（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．

设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，

故BD=4，．

又设PO=x，则，，

所以O（0，0，0），P（0，0，x），，，

故，

所以，

当时，．此时，…（6分）

设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知，，则，，，．

∴，，

∵，∴．

∴，∴．（10分）

设平面PBD的法向量为，则．

∵，，∴

取x=1，解得：y=0，z=1，所以．…（8分）

设直线OQ与平面E所成的角θ，

∴=．…（10分）

又∵λ＞0∴．∵，∴．

因此直线OQ与平面E所成的角大于，即结论成立．…（12分）

题型：简答题

简答题

三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，AC=4，AA1=3．D是BC的中点．

（1）求直线A1D与B1C1所成角的余弦值；

（2）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．

正确答案

解：根据题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），

A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），

由此可得=（1，2，-3），=（0，4，0），

=（1，-2，0），=（-2，4，0），=（1，-2，3）

（1）∵cos＜，＞==，

∴直线A1D与B1C1所成角的余弦值为；

（2）设平面A1C1D的一个法向量为=（x，y，z），

则，取z=1得x=3，y=0，

∴=（3，0，1）是平面A1C1D的一个法向量

因此，设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，

可得sinθ=cos＜，＞==，

即直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值等于．

解析

解：根据题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），

A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），

由此可得=（1，2，-3），=（0，4，0），

=（1，-2，0），=（-2，4，0），=（1，-2，3）

（1）∵cos＜，＞==，

∴直线A1D与B1C1所成角的余弦值为；

（2）设平面A1C1D的一个法向量为=（x，y，z），

则，取z=1得x=3，y=0，

∴=（3，0，1）是平面A1C1D的一个法向量

因此，设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，

可得sinθ=cos＜，＞==，

即直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值等于．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形，且，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E为AD的中点，F为PC的中点．

（1）求证：EF为AD及PC的公垂线（2）求直线BD与平面BEF所成的角．

正确答案

解；方法一：

设AB=1，则

（1）A（0，0，0）B（0，1，0）P（0，0，1）

∴

∴AD⊥EF PC⊥EF

故PC为AD及EF的公垂线

（2）

∴PC⊥EB∴PC⊥平面EFB故可看成平面EFB的法向量

故

方法二：

（1）连FO、OE、EP、EC∵EP2=EA2+AP2 EC2=ED2+CD2

又∵AB=AP=CD EA=ED∴EP=EC

又∵F为PC的中点∴EF⊥PC

又∵OF∥AP∴OF⊥平面ABCD

而OE⊥AD∴EF⊥AD

故EF为AD及PC的公垂线

（2）过O作OH⊥平面EFB于H，连BH，∠OBH为所求BD与平面EFB所成的角

设AB=1

∴EF2+BF2=BE2∴VO-EFB=VF-OEB

∴

解析

解；方法一：

设AB=1，则

（1）A（0，0，0）B（0，1，0）P（0，0，1）

∴

∴AD⊥EF PC⊥EF

故PC为AD及EF的公垂线

（2）

∴PC⊥EB∴PC⊥平面EFB故可看成平面EFB的法向量

故

方法二：

（1）连FO、OE、EP、EC∵EP2=EA2+AP2 EC2=ED2+CD2

又∵AB=AP=CD EA=ED∴EP=EC

又∵F为PC的中点∴EF⊥PC

又∵OF∥AP∴OF⊥平面ABCD

而OE⊥AD∴EF⊥AD

故EF为AD及PC的公垂线

（2）过O作OH⊥平面EFB于H，连BH，∠OBH为所求BD与平面EFB所成的角

设AB=1

∴EF2+BF2=BE2∴VO-EFB=VF-OEB

∴

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