热门试卷

（Ⅰ）证明：因为AB=AC，BC=AB，所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC，

又因为四边形A1ABB1是正方形，所以AB⊥AA1，

又因为AC、AA1⊂平面AA1C，AC∩AA1=A

所以AB⊥平面AA1C；

又因为四边形A1ABB1是正方形，所以AB∥A1B1，

所以A1B1⊥平面AA1C；       …（4分）

（Ⅱ）证明：取BC中点D，连接AD，B1D，C1D．

∵B1C1∥BC且B1C1=，D为BC中点

∴B1C1∥DB且B1C1=DB，

∴四边形B1C1DB是平行四边形，可得C1D∥B1B

又A1A∥B1B且A1A=B1B，A1A∥C1D且A1A=C1D，

所以，A1ADC1是平行四边形

所以，A1C1∥AD，所以AD∥平面A1C1C；

同理，B1D∥平面A1C1C；

又因为B1D∩AD=D，所以平面ADB 1∥平面A1C1C；

所以AB1∥平面A1C1C；         …（8分）

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）AB⊥平面AA1C，又二面角A1-AB-C是直二面角，可知，AA1，AC，AB两两互相垂直，建立如图2示坐标系，设AB=2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2）

所以．

设平面A1C1C的一个法向量为

由得，∴，∴

又，所以cos＜＞===-

 故BC与平面A1C1C所成角的正弦值为．…（12分）

解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），

P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）．

（1）证明：∵=（0，1，0），=（0，0，2），=（2，0，0），

∴•=0×0+1×0+0×2=0，•=0×2+1×0+0×0=0，

∴EF⊥AP，EF⊥AB．

又∵AP、AB⊂面PAB，且PA∩AB=A，

∴EF⊥平面PAB．

又EF⊂面EFG，∴平面EFG⊥平面PAB．

（2）解：∵，

∴，

（3）解：设平面EFC的法向量=（x，y，z），

则

令z=0，得=（1，0，1）．

又=（0，0，1），

∴点A到平现EFG的距离．

解：（Ⅰ） 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，

则A （0，0，2），B （0，2，0），

D （0，1，），C （2sinθ，2cosθ，0）．

设=（x，y，z）为，

由得

取z=sinθ，

则=（cosθ，-sinθ，sinθ）．

因为平面AOB的一个法向量为=（1，0，0），

由平面COD⊥平面AOB得•=0，

所以cosθ=0，即θ=．　　　　　　　　　…（6分）

（Ⅱ） 设二面角C-OD-B的大小为α，

由（Ⅰ）得当θ=时，cosα=0；

当θ∈（，]时，

tanθ≤-，

cosα===-，

故-≤cosα＜0．

综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-，0]．  …（13分）

（I）证明：∵PA⊥面ABC，AB⊂面ABC，∴PA⊥AB   （2分）

又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC

∵PA∩AC=A，∴BA⊥面PAC； （5分）

（II）解：过O作OO1⊥面ABC，垂足为O1，

∵AB=AC，∠BAC=90°．

∴O1是ABC截面圆的圆心，且BC是直径，

过O作OM⊥PA于M，则M为PA的中点，

连接O1A，则四边形MAO1O为矩形，∴OO1=PA=   （8分）

过O作OE⊥AC于E，连EO1，则∠OEO1为二面角O-AC-B的平面角   （10分）

在直角△OBO1中，=

∴BC=，AB=1，∴

在直角△OEO1中，tan∠OEO1==

∴二面角O-AC-B的大小为arctan  （12分）