热门试卷

（本题14分）解：（Ⅰ）证明：∵ABCD是正方形，

∴BC∥AD．∵BC⊄平面AMD，AD⊂平面AMD，

∴BC∥平面AMD．

∵NB∥MD，∵NB⊄平面AMD，MD⊂平面AMD，

∴NB∥平面AMD．

∵NB∩BC=B，NB⊂平面BCN，BC⊂平面BCN，

∴平面AMD∥平面BCN…（3分）

∵AM⊂平面AMD，

∴AM∥平面BCN…（4分）

（也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分）

（Ⅱ）∵MD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）…（5分）

则A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），N（2，2，1）．∴，…（6分），，

设平面MNC的法向量，

则，令z=2，则，…（7分）

设AN与平面MNC所成角为θ，∴．…（9分）

（Ⅲ）设E（x，y，z），，∴，

又∵，

∴E点的坐标为（2λ，2λ，2-λ），…（11分）

∵AD⊥面MDC，∴AD⊥MC，欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，

∵，，

∵∴4λ-2（2-λ）=0，

∴，

所以．…（14分）

解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥BC，又AB⊥BC，且PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB，从而BC⊥AD．…（3分）

又AD⊥PB，BC∩PB=B，所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，

又PC⊥AE，所以PC⊥平面ADE．…（6分）

（2）在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，连接AF，

因为PC⊥平面ADE，

所以BF⊥平面ADE，∠BAF为直线AB和平面ADE所成的角．…（9分）

在三角形PBC中，PD=，则BD=，得BF=．

在Rt△BFA中，，

所以直线AB与平面ADE所成的角为30°．…（12分）

另解：过点B作BZ∥AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），C（0，1，0），P（1，0，），因为PC⊥平面ADE，设向量所成的角为θ，

则，

则直线AB与平面ADE所成的角为30°．…（12分）