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解：连A1D，由题设知A1、D关于B1C对称，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA1=h，则A（0，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，h），

D（2，2，h），=（2，0，h），=（0，2，h），

∵异面直线BD和AB1所成角的大小为arccos

∴

∴2h2+16=3h2，∴h=4，

（1）V=+=+=16+8π．

（2）=（2，2，4），平面ACC1A1的法向量=（0，1，0），

设直线AD与平面ACC1A1所成角为θ，则sinθ=，∴θ=，

故直线AD与平面ACC1A1所成角的大小为．

（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，

且AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，

∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，

∴ON∥ED，

∵ED⊥平面ABCD，

∴ON⊥平面ABCD，

由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．

∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．

∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，

∴A（0，-，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），E（-1，0，3），F（1，0，3），C（0，，0），H（，，）

∵AC⊥平面BDEF，

∴平面BDEF的法向量=（0，2，0）．

设直线DH与平面BDEF所成角为α，

∵=（，，），

∴sinα=|cos＜，＞|=||=，

∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得=（-，，），=（2，0，0）．

设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则

令z=1，得=（0，-，1）

由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，-3），

则cos＜，＞==-，

由图可知二面角H-BD-C为锐角，

∴二面角H-BD-C的大小为60°．

（1）证明：连接AC，在△AD1C中，

∵F为BD的中点，∴F为AC的中点

∵E为AD1的中点，

∴EF∥D1C

∵EF⊄平面B1D1C，D1C⊂平面B1D1C

∴EF∥平面B1D1C；

（2）解：取D1C的中点M，连接AM，B1M，B1A

∵△AD1C为正三角形，M为CD1的中点

∴AM⊥D1C

同理，在正三角形B1D1C，B1M⊥D1C

∴∠AMB1为二面角B1-D1C-A的平面角

∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1

∴，，

∴cos∠AMB1=

∴二面角B1-D1C-A的大小为arccos；

（3）解：VB1-ACD1=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC=1-4×××1×1=