热门试卷

解：（1）证明：取AB中点H，连接GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH∥AD∥EF，

∴E，F，G，H四点共面．…（1分）

又H为AB中点，

∴EH∥PB．…（2分）

又EH⊂面EFG，PB⊄平面EFG，

∴PB∥面EFG．…（3分）

（2）解：取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．…（4分）

在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在Rt△MGE中，…（7分）

故异面直线EG与BD所成的角为．…（8分）

（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．

过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD．

∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA，

又AB∩PA=A，

∴AD⊥平面PAB．

又∵E，F分别是PA，PD中点，

∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB

又EF⊂面EFQ，

∴面EFQ⊥平面PAB．

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，

∴AT就是点A到平面EFQ的距离．…（12分）

设CQ=x（0≤x≤2），则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，

在Rt△EAR中，

解得．

故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为…（14分）

（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．…（1分）

∵O为BD中点，E为PD中点，

∴EO∥PB．…（2分）

∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，…（3分）

∴PB∥平面AEC．

（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD．

∴CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD．…（4分）

又∵在正方形ABCD中，CD⊥AD，且PA∩AD=A，…（5分）

∴CD⊥平面PAD．…（6分）

又∵CD⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PAD．…（7分）

（Ⅲ）解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．…（8分）

∵PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．…（9分）

∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）是平面ABCD的法向量，

设平面AEC的法向量为，，，

则，即，解得．…（11分）

∴cos＜＞==，…（12分）

∴二面角E-AC-D的正弦值为．…（13分）

（1）证明：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．

取BC1中点G，则G（1，2，1），=（-1，2，-1），

又=（-1，2，-1），∴=，

∴与共线，∴EF∥A1G，

∵A1G⊂平面A1C1B，EF⊄平面A1C1B，

∴EF∥平面A1C1B；

（2）解：∵=（0，2，0），=（-1，2，-1），

∴cos＜，＞===

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为．

（1）解：由题意，AD=AA1=2，AB=6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点

∴E（1，0，2），F（0，3，2）

（2）证明：∵A（2，0，0），C（0，6，0）

∴=（-2，6，0），

∵E（1，0，2），F（0，3，2）

∴=（-1，3，0）

∴

∴AC∥EF

∵EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1．