热门试卷

解法一（几何法）：（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD=E．

∵∠ADC=∠BCD=90°，AD=2BC=2，N是AD的中点，

∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，

∴BN⊥平面PAD，

∴BN⊥NE，

∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，

即∠DNE=30°．…（3分）

∵PA=PD=AD，

∴∠PDN=60°，

∴∠DEN=90°，

∴DE=DP，

∴CM=CP，故=3．…（6分）

（Ⅱ）连接BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，

则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．

连接PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，

∴PB===，…（9分）

又PE=PD=，∴sin∠PBE==．

所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin．…（12分）

解法二（向量法）：

（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N-xyz，

其中N（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），D（-1，0，0），

P（0，0，）．

设=λ（λ＞0），则M（，，），

于是=（0，，0），=（，，），…（3分）

设=（x，y，z）为面MBN的法向量，则•=0，•=0，

∴y=0，-λx+λy+z=0，取=（，0，λ），

又=（0，0，1）为面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，得

|cos＜，＞|===cos30°=，

解得λ=3，

故=3．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），=（，0，3）为面MBN的法向量，…（8分）

设直线PB与平面MBN所成的角为θ，由=（0，，-），得

sinθ===，

所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin．…（12分）

解：（1）∵点A、D分别是RB、RC的中点，

∴．

∴∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°．

∴PA⊥AD．

∴PA⊥BC，

∵BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB．

∵PB⊂平面PAB，

∴BC⊥PB．

（2）取RD的中点F，连接AF、PF．

∵RA=AD=1，

∴AF⊥RC．

∵AP⊥AR，AP⊥AD，

∴AP⊥平面RBC．

∵RC⊂平面RBC，

∴RC⊥AP

∵AF∩AP=A，

∴RC⊥平面PAF．

∵PF⊂平面PAF，

∴RC⊥PF．

∴∠AFP是二面角A-CD-P的平面角．

在Rt△RAD中，，

在Rt△PAF中，，．

∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是．

（Ⅰ）证明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，平面DEFG∩平面ADEB=DE，

∴AB∥DE…（1分）

又∵AB=DE，∴四边形ADEB为平行四边形，

∴BE∥AD…（2分）

∵AD⊥面DEFG，∴BE⊥平面DEFG．…（3分）

（Ⅱ）证明：设DG的中点为M，连接AM，MF，则，

∵EF=2，EF∥DG，∴四边形DEFM是平行四边形…（4分）

∴MF=DE且MF∥DE，

由（Ⅰ）知，ADEB为平行四边形，

∴AB=DE且AB∥DE，∴AB=MF且AB∥MF，

∴四边形ABFM是平行四边形，…（5分）

即BF∥AM，

又BF⊄平面ACGD，故 BF∥平面ACGD；…（6分）

（Ⅲ）解：由已知，AD，DE，DG两两垂直，建立如图的空间坐标系，则A（0，0，4），B（2，0，4），C（0，1，4），F（2，2，0）

∴

设平面FBC的法向量为=（x，y，z），

则，

令z=1，则=（-1，-2，1），

而平面ABC的法向量

∴cos＜，＞

由图形可知，二面角F-BC-A的余弦值-．…（12分）

解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：

连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，

又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．

而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．

因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．

（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．

因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．

已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l．

而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．

连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．

故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．

由，作DQ∥CP，且．

连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，

从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．

连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，

故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．

又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，

于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，

从而．

（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．

连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．

以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．

于是，

∴=，从而，

又取平面ABC的一个法向量为，可得，

设平面BEF的一个法向量为，

所以由可得取=（0，c，b），

于是，从而．

故，即sinθ=sinαsinβ．