热门试卷

解：∵A（1，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），∴，．

设平面ABC的法向量为，则，即，

不妨令x=1，则y=1，z=0，∴．

又=（0，1，1），

设直线AD与平面ABC所成的角为θ，

则===．

∵，∴．

因此直线AD与平面ABC所成的角为．

（1）证明：作图如下所示：

∵四边形ACC1A1为平行四边形，∴AC∥A1C1，

AC⊄面A1BC1，A1C1⊂A1BC1，

∴AC∥同理可证CD1∥面A1BC1，

又AC∩CD1=C，AC⊂面ACD1，CD1⊂面ACD1，

∴平面A1BC1∥平面ACD1；

（2）解：分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A1（4，0，0），A（4，0，2），D1（4，3，0），C（0，3，2），

=（0，0，2），=（-4，3，0），=（0，3，-2），

设=（x，y，z）为面ACD1的一个法向量，

则，即，取=（3，4，6），

所以所求距离d=||×|cos＜，＞|===，

故平面A1BC1与平面ACD1的距离为．

解法一：（Ⅰ）延长AE交A1B1于点N，则点N为A1B1的中点．连D1N

∵E，F分别是A1M，AD1的中点，

∴EF∥D1N．…（2分）

在Rt△A1C1D1与Rt△ND1A1中，∵

∴Rt△A1C1D1∽Rt△ND1A1，∴A1C1⊥D1N …（4分）

又∵AA1⊥D1N，A1C1∩AA1

∴D1N⊥平面AA1C1C．…（6分）

（Ⅱ）过点A1作A1H⊥AN，垂足为H，连D1H，由三垂线定理得D1H⊥AN，

∴AN⊥平面A1D1H

∴平面A1D1H⊥平面AEF

∴A1D1在平面AEF中的射影即为D1H

∴∠A1D1H就是A1D1与平面AEF所成的角 …（10分）

在Rt△AA1N中，AA1=2，A1N=，

∴A1H=．

故直线A1D1与平面AEF所成的角为．

∵AD∥A1D1

∴直线AD与平面AEF所成角的为．…（14分）

解法二：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间坐标系，

则A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），

A1（0，0，2），B1（，0，2），C1（，0，0），D1（0，1，2）

∴=（0，0，2），=（，1，0）

又M（，0，0），E（，0，1），F（0，，1），∴=（-，，0）．…（3分）

由•=（-，，0）•（0，0，2）=0，

•=（-，，0）•（，1，0）=0，

∴，．

又∵A1C1∩AA1=A1

∴EF⊥平面AA1C1C．…（6分）

（Ⅱ）设向量=（1，x，y）是平面AEF的一个法向量

由（Ⅰ）可得=（-，0，1），=（0，，1）．…（8分）

由•=0，•=0，得解之，得

故=．…（11分）

设直线AD与平面AEF所成的角为α，则sin＜，＞=．

所以设直线AD与平面AEF所成的角为．…（14分）

解：正四棱锥P-ABCD中，，∴OA=OB=OP=1

建立如图所示的空间直角坐标系，

则有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）

∵M是PA的中点，

∴M（），=（1，0，-1），=（0，-1，-1）

设平面PAD的法向量为=（x，y，1），则由，可得=（1，-1，1）

∵=（）

∴cos＜＞==

∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为．