热门试卷

解：（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．

∵∠C1DC=60°，∴CC1=

则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），A1（1，0，），

B1（0，，），C1（-1，0，）

连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，则

∴，

∴．

∵AB1⊄平面BC1D，DO⊂平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D．…（5分）

（Ⅱ）．

设平面BC1D的一个法向量为=（x，y，z），则

即，则有y=0

令z=1，则=（，0，1），设平面BCC1B1的一个法向量是为=（x‘，y'，z'），，则

即，∴z′=0．

令y'=-1，则=（，-1，0）

∴

∴二面角D-BC1-C的大小为．…（12分）

（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连接A1B，交AB1于P，则PM∥A1C，又PM⊂面AB1M，A1C⊄面AB1M，

∴A1C∥面AB1M．（4分）

（Ⅱ）解：取B1C1中点H，连接MH，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，、、两两垂直，故分别以为x、y、z轴，建立如图空间坐标系．设CN=2（0＜a＜2），则A（），B1（1，0，2），M（0，0，0），N（-1，0，a），∴．

由=0，有-1+2a=0，解得，故在棱CC1上的点N满足CN=，使MN⊥AB1．（9分）

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），，则，

又‘则面AB1M一个法向量．

设面AB1N的一个法向量，

由即，取（12分）

则

=

故二面角M-AB1-N的余弦值为．（14分）

解：（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，

所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，

∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，

∴AC=4，∠CAB=60°，

∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，

∴HE∥PC

同理可证EF∥PB，

又HE∩EF=E，CP∩PB=P，

∴平面EFH∥平面PBC；

（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，-2，0），P（0，0，2），B（，1，0）

因为E（0，-1，），=（0，-1，），设平面PHB的法向量=（x，y，z），

∵=（，1，0），=（0，0，2），

∴，即，

令x=，则y=-3，

∴=（，-3，0）…8分

cos＜，＞===

∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为

（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可

因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2

在直角△PHB中，PB=4，EF=PB=2，

所以点E到P，H，A，F四点的距离相等

（I）证明：连接A1C交C1A与点O，连接DO

∵ACC1A1均为正方形∴点O为A1C的中点

而D为BC中点∴BO∥A1B

而A1B⊄平面ADC1，BO⊂平面ADC1，

∴A1B∥平面ADC1；

（II）证明：由（I）可知C1A⊥A1C，而AB⊥平面ACC1A1，

而C1A⊂平面ACC1A1，则AB⊥C1A，而A1B1∥AB

∴A1B1⊥C1A而A1B1∩A1C=A1，

∴C1A⊥平面A1B1C，而B1C⊂平面A1B1C

∴C1A⊥B1C．

（Ⅲ）解：连接A1C，A1C∩AC1=O，连接OB1，

∵ACC1A1为正方形，∠BAC=90°

∴AC1⊥A1C，AC1⊥A1B1，

∴AC1⊥平面A1B1C

∴∠C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角

∵C1O=C1A=C1B1∴∠C1B1O=30°．