热门试卷

解：（1）方法一：以EF的中点O为原点，OA为x轴，OE为y轴，OC为z轴建立直角坐标系，则C（0，0，1），A（3，0，0），E（0，1，0），解正方形可得∴=（-3，0，1），

∵=0，∴

∴BD⊥AC

（2）∵OA⊥面CEF，∴面CEF的法向量为=（3，0，0）

设面ABE的法向量为=（x，y，z）∵，

得

令x=1，得一个法向量为，设锐二面角为θ

则

方法二（1）过D作DH⊥AF于H，过B作BG⊥AE于G．

∵△ABE≌△ADF，∴BG=DH

又面ABG⊥面AEF，∴DH⊥面AEF，∴BG∥DH

故四边形BDHG为平行四边形，∴BD∥GH

取EF中点为O，连CO、AO

则CO⊥EF，AO⊥EF，∴EF⊥面ACO

又GH∥EF，∴BD∥EF，∴BD⊥面ACO，∴BD⊥AC

（2）∵面ABE⊥面AEF，面CEF⊥面AEF

∴面ABE与面CEF的交线必与面AEF垂直，

故∠AEF为二面角平面角．

在△AEF中，AE=，EF=2，

∴cos∠AEF=

故二面角的余弦值为．

证明：（I）∵∠ABC=，

∴BA⊥BC，

建立如图所示的坐标系，

则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），

则=（-1，0，1），=（0，，0），

=（1，0，1），

则•=（-1，0，1）•（0，，0）=0，

•=（-1，0，1）•（1，0，1）=-1+1=0，

则⊥，⊥，

即AD⊥BC，AD⊥BD，

∵BC∩BD=B，

∴AD⊥平面BCD；

∵AD⊂平面BCD；

∴平面ACD⊥平面BCD；

（II）=（0，，1），

则设平面BDE的法向量=（x，y，1），

则，即，

解得x=-1，y=，

即=（-1，，1），

又平面SBD的法向量=（0，，0），

∴cos＜，＞==，

则＜，＞=，即二面角S-BD-E的平面角的大小为．

（Ⅰ）证明：在图甲中，

∵△ABC是边长为6的等边三角形，

E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点，

∴DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC．…（2分）

在图乙中，

∵DE⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG=F，∴DE⊥平面AFG．

又∵DE∥BC，∴BC⊥平面AFG．…（4分）

（Ⅱ）∵平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，

∴FA，FD，FG两两垂直．

以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz．

则由题意知：，，E（0，-2，0），

∴，，0）．…（6分）

设平面ABE的一个法向量为．

则，∴，

取x=1，则，z=-1，∴．…（8分）

显然为平面ADE的一个法向量，

所以．…（10分）

∵二面角B-AE-D为钝角，

∴二面角B-AE-D的余弦值为．…（12分）

证明：（I）连接BD，由已知得BD=2，

在正三角形BCD中，BE=EC，∴DE⊥BC，又AD∥BC，∴DE⊥AD…（2分）

又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DE，…（3分）

AD∩PD=D，∴DE⊥平面PAD．  …（4分）

（Ⅱ）∵，

且，…（5分）

∴…（8分）

（Ⅲ）：如图建立空间直角坐标系D-AEP，

则由（I）知平面PAD的一个法向量为∵，∴

设平面PBC的法向量为，

由，∴

取y=2得…（11分）∴…（13分）

∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为…（14分）