热门试卷

（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，

在△CPA中，∵E为PC的中点，

∴EF∥PA，

∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD；

（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OP，OF．

∵PA=PD，∴PO⊥AD．

∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，

∴PO⊥面ABCD，

而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，

又ABCD是正方形，故OF⊥AD．

∵PA=PD=，AD=2，∴PA⊥PD，OP=OA=1

以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则有A（1，0，0），G（1，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），

∵侧面PAD⊥底面ABCD，AD⊥DC，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PA

∵PD∩DC=D，且CD、PD⊂面PDC

∴PA⊥平面PCD

∴平面PDC的一个法向量为=（1，0，-1）

设平面PGD的一个法向量为=（x，y，z）

∵

∴由可得

∴可取

∴cos＜＞===

∴二面角C-PD-G的余弦值为．

解：（1）如图所示，

连接MF，MO                                      

∵EC=2FB，EC∥F

∴MO是△ACE的中位线

∴2OM=CE，OM∥CE

∴OM=FM，OM∥FB

∴四边形OBFM为平行四边形

∴BO∥MF

（2）由（1）知AG⊥AC，

又  AA1⊥AG，且AA1∩AC=A，于是知AG⊥面AC，

∴∠EAC是 平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的平面角．

∵AB=2，底面是菱形，且∠ABC=60°，∴AC=2，

在直角三角形ECA中，AE=   

，sin∠EAC=，

∴∠EAC=         

∴平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的大小是                                           

（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，

又CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，

∵AM⊥MC，CD∩MC=C

∴AM⊥平面PCD，

∵AM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCD．

（2）解：以A为坐标原点，AB为x轴，建立空间直角坐标系，如图．

则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），

由于PA=AD，AM⊥PD，∴M是PD的中点，∴M（0，2，2）；

设平面ACM的一个法向量，由，可得：，令z=1，则．

设CD与平面ACM所成的角为α，又，则．

所以直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为．

（3）解：由于PA⊥平面ACD，取平面ACD的法向量为，平面ACM的法向量为，

∴．

∴二面角M-AC-D的余弦值为．