热门试卷

（1）证明：∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC．

∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．

又AC∩A1A=A，∴BC⊥平面A1ACC1

而BC⊂平面B1BCC1，∴平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．

（2）①解法一：由已知圆柱的底面半径为1，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积．

又∵AC2+BC2=AB2=4，∴，当且仅当时等号成立．

从而，Vmax=2，当时取得最大值．

解法二：由已知圆柱的底面半径为1，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积．

设∠BAC=α（0°＜α＜90°），则AC=ABcosα=2cosα，BC=ABsinα=2sinα．

由于AC•BC=4sinαcosα=2sin2α≤2，当且仅当sin2α=1即α=45°时等号成立，故Vmax=2．

②由①知，V取最大值时，OC⊥AB．于是，以O为坐标原点，OB为y轴，OO1为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，

则C（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2）．

∵BC⊥平面A1ACC1，∴是平面A1ACC1的一个法向量．

设平面B1OC的法向量，由得，

令z=1，则y=-2．

得平面B1OC的一个法向量为．

∵0°＜θ≤90°，∴===．

③以C为坐标原点，AC为x轴正方向，CC1为y轴正方向，建立平面直角坐标系xCy，

则设P（x，y），C（0，0），C1（0，2），，，

动点P到直线B1C1的距离即为|PC1|，到直线AC的距离等于|y|，

∴，化简得动点P的轨迹方程为，其轨迹为以CC1的中点（0，1）为顶点，开口向上的抛物线的一段，．

∴|PC|===，

由得，∴当y=1时，|PC|min=1；时，．

解：（1）取BC中点D，连接AD、PD；

在等腰三角形PBC、ABC中，PD⊥BC，AD⊥BC，故∠PDA为二面角P-BC-A的平面角．       （2分）

在等腰直角△ABC中，由AB=AC=4及AB⊥AC，得AD=2．

由PA⊥平面ABC，得PA⊥AD．

在直角△PAD中，tan∠PDA==．                            （6分）

故二面角P-BC-A的大小为arctan．                           （8分）

（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．

∴该圆锥的体积V==．                              （12分）

（1）证明：∵P，M是SC、SB的中点

∴PM∥BC，

∵BC⊄面AMP，PM⊂面AMP

∴BC∥面AMP；

（2）证明：∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，

又∵∠ACB=90°∴AC⊥BC，

∵AC∩SC=C，∴BC⊥平面SAC，

∵PM∥BC，

∴PM⊥面SAC，

∵PM⊂面MAP，∴面MAP⊥面SAC；

（3）解：以C为原点，建立空间直角坐标系，

则P（0，0，），B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，），S（0，0，）

∴=（-1，1，），=（-1，2，0）

设平面MAN的一个法向量为=（x，y，z），则

由，可得

∴可取=（4，2，）

取平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）

∴cos＜＞===

∴锐二面角M-AB-C的大小的余弦值为．

解：（1）证明：

∵AC=PC，D为AB的中点．∴CD⊥AB

又∵CD⊥DA，∴CD⊥平面ABB1A1∴CD⊥BB1又BB1⊥AB，AB∩CD=D

∴BB1⊥面ABC．

（2）V多面体DBC-A1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱锥A1-ABC=S△ABC•AA1-S△ADC•AA1

=S△ABC•AA1-S△ABC•AA1=S△ABC•AA1=

（3）以 C为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．

则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C1（0，2，0），A1（0，2，2）∴D（1，0，1）

设是面CDA1的一个法向量，

则由得

可取=（1，1，-1）

同理设是面DA1C1的一个法向量，

且=（1，-2，1）=（0，0，2）

则由

得

取

∴cos＜＞===

二面角C-DA1-C1为锐二面角，所以其平面角的余弦值为．