热门试卷

解：（1）连接CO，∵∠CAB=45°，OA=OC，∴CO⊥AB，又∵F为的中点，∴∠FOB=45°，

∴OF∥AC，

∵OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，

∴OF∥平面ACD．

（2）过O作OE⊥AD于点E，连接CE，

∵CO⊥AB，平面ABC⊥平面ABD，

∴CO⊥平面ABD，

又∵AD⊂平面ABD，

∴CO⊥AD，∴AD⊥平面CEO，∴AD⊥CE，

则∠CEO是二面角C-AD-B的平面角

∵∠OAD=60°，OA=2，∴OE=，

由CO⊥平面ABD，OE⊂平面ABD，得△CEO为直角三角形，

∵CO=1，∴CE=，∴cos∠CEO=．

所以∠CEO=arccos．

解：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．

∴．

（Ⅱ）不论点E在何位置，都有ED⊥AE．

证明如下：连接AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD⊆底面ABCD，

∴BD⊥PC．又AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．

∵不论点E在何位置，都有AE⊆平面PAC，

∴不论点E在何位置，都有ED⊥AE．

（Ⅲ）解法1：当点E为PC的中点时，二面角D-AE-B的大小为120°．

在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结EF．

∵AD=AE=1，DE=EF=，AE=AE=，

∴Rt△ADE≌Rt△ABE，

从而Rt△ADF≌Rt△AEF，

∴EF⊥AE．

∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角．

在Rt△ADF中，DF=，

∴EF=，又ED=，

在△DFB中，由余弦定理得cos，

∴∠DFB=120°，

即二面角D-AE-B的大小为120°．

解法2：如图，以点C为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），从而，

，，．

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为：，，

由，即，取，

由，即，取，

设二面角D-AE-F的平面角为θ，则cosθ==，

∴θ=120°，即二面角D-AE-B的大小为120°．

解：（1）以为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，设，

则，B1（2，0，2），D1（0，2，2），，，

∵B1Q⊥D1P，

∴，

∴，

解得a=1…（4分）

∴PC=1，CQ=1，即P、Q分别为BCCD中点…（5分）

（2）设平面C1PQ的法向量为，

∵，

又，

∴，

令c=-1，则a=b=2，…（8分）

∵为面APQ的一个法向量，

∴，而二面角为钝角

故余弦值为…（10分）