- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
在四面体PABC中，PA=PB=PC=AB，如果PA与平面ABC所成的角等于60°，则PC与平面PAB所成的角的最大值是______．
正确答案
60°
解析
解：如图所示，过点P作PO⊥平面ABC，
连接OA，OB，OC．取AB的中点D，连接OD，PA．
则∠PAO是PA与平面ABC所成的角，其大小等于60°．
不妨设PA=2=AB=PB=PC，则PO=
∴PD=
因此点O与D必然重合．
可知：点C在以O为圆心，AB为直径的圆周上运动（去掉A，B两点）．
当且仅当CD⊥AB时，PC与平面PAB所成的角取得最大值60°．
故答案为：60°．
正四棱锥V-ABCD中，底面正方形的边长为2，侧棱长为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题得：V在底面ABCD中的射影为底面中心O．
取AO中点F，连接EF，则EF∥VO
∴EF⊥底面ABCD，
∠ECF即为EC与底面ABCD所成角
因为底面正方形的边长为2⇒AC=2
故VO=
∴EF=
则FC=OC+FO=
∴tan∠ECF=
故EC与底面ABCD所成角的正切值为：
故选B
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为
A
B
C
D
正确答案
解析
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵
∴V三棱柱ABC-A1B1C1=
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴
在Rt△AA1P中，
∴
故选B．
（1）求证：EF∥平面ABC
（2）求直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值．
正确答案
∵F为AD的中点，∴FG∥CD，FG=
又BE∥CD，BE=
∴四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF∥平面ABC．
（2）解：∵AC=BC=2，AB=
又CD⊥面ABC，∴CD⊥BC，CD⊥AC．
以C为坐标原点，以CB、CA、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则B（2，0，0），D（0，0，2
∴
设平面AED的一个法向量为
由
取z=1，得y=
∴
∴直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值
sinθ=
解析
∵F为AD的中点，∴FG∥CD，FG=
又BE∥CD，BE=
∴四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF∥平面ABC．
（2）解：∵AC=BC=2，AB=
又CD⊥面ABC，∴CD⊥BC，CD⊥AC．
以C为坐标原点，以CB、CA、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则B（2，0，0），D（0，0，2
∴
设平面AED的一个法向量为
由
取z=1，得y=
∴
∴直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值
sinθ=
（1）求证：BE∥平面ACF；
（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．
正确答案
（1）证明：连结BD交AC于点O，
取PF的中点G，连结OF，BG，EG，
∵O，F分别是DB，DG的中点，∴OF∥BG，
∵E，G分别是PC，PF的中点，∴EG∥CF，
∴平面BEG∥平面ACF，
又∵BE⊂平面BEG，
∴BE∥平面ACF．
（2）∵BC=2AB，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°．
过C作AD的垂线，垂足为H，则CH⊥AD，CH⊥PA，
∴CH⊥平面PAD．
∴∠CPH为PC与平面PAD所成的角．
设AB=1，则BC=2，AC=
∴sin∠CPH=
解析
（1）证明：连结BD交AC于点O，
取PF的中点G，连结OF，BG，EG，
∵O，F分别是DB，DG的中点，∴OF∥BG，
∵E，G分别是PC，PF的中点，∴EG∥CF，
∴平面BEG∥平面ACF，
又∵BE⊂平面BEG，
∴BE∥平面ACF．
（2）∵BC=2AB，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°．
过C作AD的垂线，垂足为H，则CH⊥AD，CH⊥PA，
∴CH⊥平面PAD．
∴∠CPH为PC与平面PAD所成的角．
设AB=1，则BC=2，AC=
∴sin∠CPH=
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