热门试卷

解：（1）条件②AC⊥BD，可作为AC⊥BD1的充分条件．

证明如下：

∵AA1⊥平面ABCD，AA1∥DD1，∴DD1⊥平面ABCD，

∵AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC．

若条件②成立，即AC⊥BD，

∵DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，

又BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．

（2）由已知，得ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

设AC∩BD=0，O1为B1D1的中点，

则OO1⊥平面ABCD，

∴OO1、AC、BD交于同一点O且两两垂直．

以OB，OC，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．

设OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m2+n2=1，

则A（0，-m，0），B（n，0，0），C（0，m，0），C1（0，m，1），D1（-n，0，1），

=（-n，m，1），=（-2n，0，1），

设=（x，y，z）是平面BC1D1的一个法向量，

则，令x=m，则y=-n，z=2mn，

∴=（m，-n，2mn），

又=（0，2m，0）是平面BDD1的一个法向量，

∴cosθ=，

令t=n2，则m2=1-t，∵∠BAD为锐角，

∴0＜n＜，则0＜t＜，cosθ==，

∵函数y=-4t在（0，）上单调递减，∴y=-4t＞0，

∴0＜cosθ＜，

又0＜θ＜，∴＜θ＜，即平面BDD1与平面BC1D1所成角的取值范围为（，）．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵PA⊥BC，

∴PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）解：过A作AH⊥PC于H，

∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，

∴AH⊥平面PBC，

∴∠ACH为AC与平面PBC所成的角，

Rt△PAC中，tan∠ACH==，

∴AC=1．

（1）证明：因为AB⊥侧面BB1C1C，BCl⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BCl，

在△BCCl中，BC=1，CC1=BB1=2，，可得△BCE为等边三角形，BE=EC1，∠EBC1=，所以BC⊥BCl．

而BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．（6分）

（2）解：在△B1C1E中，EC1=1，C1B1=1，∠B1C1E=，

∴∠B1EC1=

∵∠BEC=，∴BE⊥EBl．

又∵AB⊥侧面BBlC1C，∴AB⊥BlE，

又AB∩BE=B，∴B1E⊥平面ABE，∴AE⊥BlE，

∴∠AEB即是二面角A-B1E-B的平面角．

在Rt△ABE中，tan∠AEB==1，故∠∠AEB=．

所以二面角A-B1E-B的大小为．（12分）