热门试卷

（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形，

连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，

∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD；

（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，

∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，

又，

所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，

CD∩PD=D，且CD、PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC，

又PA⊂面PAB，

∴面PAB⊥面PDC；

（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，

由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B-PD-C的平面角，

Rt△FEM中，，，，

故所求二面角的正切值为；

（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接PE，DE，AC，设AC∩DE=F

∵PA=PB，E是AB中点，∴PE⊥AB

∵面 PAB⊥面ABCD，面 PAB∩面ABCD=AB，

∴PE⊥面ABCD，∴PE⊥AC

在直角△ABC与直角△DAE中，，∴△ABC∽△DAE，∴∠AED=∠ACB

∴∠AED+∠BAC=90°，∴AC⊥ED

∵PE⊥AC，PE∩ED=E

∴AC⊥平面PED

∵PD⊂平面PED

∴PD⊥AC；

（Ⅱ）在平面ABCD内，过点E作EG⊥AB，以E为坐标原点，EB，EG，EP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则M（），A（-1，0，0），C（1，1，0），D（-1，2，0）

∴，=

设平面MAC的法向量为=（x，y，z），则由，可得，可取=（1，-2，）

又平面ACD的法向量为=（0，0，1）

∴二面角M-AC-D的余弦值为==．

（I）证明：如图，

因为顶点A在底面BCD上的射影为E，所以AE⊥平面BCD，则AE⊥CD，

又AD⊥CD，且AE∩AD=A，则CD⊥平面AED，

又DE⊂平面AED，故CD⊥DE，

同理可得CB⊥BE，则四边形BCDE为矩形，又BC=CD，

则四边形BCDE为正方形，故CE⊥BD．

（II）解：由（I）知BCDE为正方形，

以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，

则E（0，0，0），D（0，6，0），B（6，0，0），C（6，6，0），

在直角三角形AEC中，因为，AC=，所以．

又CG=2GA，所以A（0，0，6），G（2，2，4），

则，，易知平面CEG的一个法向量为，

设平面DEG的一个法向量为，

则由，得，所以x=-2．则，

则，即二面角C-EG-D的余弦值为．

（Ⅰ）证明：∵E为弧AC的中点，AB=BC，AC为直径，∴EB⊥AD．

∵，∴EB⊥FB．

∵BF∩BD=B，∴EB⊥平面BDF．

∵FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD．…4分

（Ⅱ）解：过D作HD∥QR．

∵，∴QR∥EB．∴HD∥EB．

∵D∈平面BED∩平面RQD，

∴HD为平面BED与平面RQD的交线．

∵BD，RD⊂平面BDF，EB⊥平面BDF，

∴HD⊥BD，HD⊥RD．

∴∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．

∵△BRD是直角三角形，∴．…6分