热门试卷

解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．

依题意得，B（0，0，0），，，

，．

（1）易得

于是===．

∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．

（2）易知．

设平面AA1C1的法向量，则，即，

不妨令，则z=，可得．

同样可设面A1B1C1的法向量，得．

于是===，∴．

∴二面角A-A1C-B1的正弦值为．

证明：（1）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD

因为PA⊥平面ABCD，

所有PA⊥BD．…（2分）

又因为PA∩AC=A，

所以BD⊥面 PAC．…（3分）

而BD⊂面PBD，

所以面PBD⊥面PAC．…（5分）

解：（2）如图，设AC∩BD=O．取PC的中点Q，连接OQ．

在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ∥PA．

因为PA⊥平面ABCD，

所以OQ⊥平面ABCD，…（6分）

以OA、OB、OQ所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz

则A（，0，0），B（0，1，0），C（-，0，0），P（，0，2）…（7分）

因为BO⊥面PAC，

所以平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），…（8分）

设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z）

而=（-，-1，0），=（-，1，-2）

由得

令x=1，则y=-，z=-，

所以=（1，-，-）为平面PBC的一个法向量．…（10分）

cos＜，＞==…（12分）

（1）证明：过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，

可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形

所以AD∥EG且AD=EG，从而四边形ADGE为平行四边形

故AE∥DG

因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF

所以AE∥平面DCF

（2）解：∵平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BEFC

过点B作BH⊥FE交FE的延长线于H，连接AH，∴AH⊥FE．

故∠AHB是二面角A-EF-C的平面角．                        

在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，所以∠CFE=60°，GF=1．

∵∠CEF=，∴CF=4，∴BE=GC=3

∴BH=BCsin∠BEH=

∴AB=BHtan∠AHB==

∴当AB的长为时，二面角A-EF-C为．                     

（3）解：连接AF，FB，则几何体ABE-DCF的体积为V=VF-ABE+VF-ABCD=+=．

（1）证明：以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则C（0，0，0），A（0，a，0），B（a，0，0）设P（x，y，0），

由⇒（x，y-a，0）=λ（a-x，-y，0），

∴，

从而，，

于是，，

平面A‘PE的一个法向量为，

又，，从而B'C∥平面A'PE．

（2）解：由（1）知有：，，．

设平面CA'B'的一个法向量为=（x，y，-1），则，

∴可得平面CA'B'的一个法向量，

同理可得平面PA'B'的一个法向量，

由，即，

又λ＞0，λ2-λ+1=0，由于△=-3＜0，

∴不存在正实数λ，使得二面角 C-A'B'-P的大小为90°．