热门试卷

解：（Ⅰ）∵AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，∴AD⊥EP．

又∵△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，∴AB⊥EP．

∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD．

∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．…（5分）

（Ⅱ）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．

=（2，1，0），=（0，0，），=（1，-1，-）．

设=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量．

由 ，令x=1，可得=（1，-2，0）．…（9分）

设PC与平面PDE所成的角为θ，得

=

所以PC与平面PDE所成角的正弦值为． …（12分）

（1）证明：∵平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，

∴AE⊥BC

∵BE⊥BC，AE∩BE=E，

∴BC⊥平面ABE．

又BC⊂平面ABCD，

∴平面ABE⊥平面ABCD．  …（4分）

（2）解：∵AD∥平面BFC

∴f（x）=VD-BFC=≤

即x=1时f（x）有最大值为

（3）解：当f（x）取得最大值时，EF为中位线，设D在平面EFCB上的射影为H，则FH=，

∴S△BHF=••1=，

又△BDF中，BD==，DF==，BF==，

∴cos∠BFD==，

∴sin∠BFD=，

∴S△BDF=•••=

∴二面角D-BF-C的余弦值为=．

（Ⅰ）证明：因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，

又因为四边形CDEF为正方形，

所以ED⊥CD．

因为ED⊂平面CDEF，

所以ED⊥平面ABCD．…（4分）

（Ⅱ）解：以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1）．

所以平面BDE的法向量为．…（5分）

设平面BEC的法向量为=（x，y，z）．

因为，

所以即

令z=1，则=（0，1，1）．…6 分

所以cos＜，＞==．

所以二面角D-BE-C的大小为60°．…（8分）

（I）证明：∵EF∥AB，AB=EF=CD，

∴四边形AEFB为平行四边形，又AE=AB，AE⊥CD，

∴四边形AEFB为正方形，∴BE⊥AF，

∴平面PAE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=AE，

∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，

又PE∩BE=E，∴AF⊥平面PBE，

∵AF⊂平面PAF，

∴平面PBE⊥平面PAF；

（Ⅱ）解：建立如图所示的装不下，设AB=4，则P（0，0，4），A（0，4，0），B（4，4，0），C（8，0，0），F（4，0，0），

∴，

设=（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，则，∴可去=（1，1，2），

∴sinα==，

∴直线PF与平面PBC所成角的正弦值为．