热门试卷

解：以D为原坐标，棱DA、DC、DD1，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（1，0，2），B1（1，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），B（1，2，0），C（0，2，0），

（1）∵E，F分别为C1D1、A1B的中点，∴E（0，1，2），F（1，1，1），

=（1，0，-1），=（1，0，-2），=（0，0，2），

∴=+，

∴EF在平面BB1C1C内或EF∥平面BCC1B1，

∵EF⊄平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1C．

（2）由（1）得=（-1，1，0），

=（0，2，-2），

设=（x，y，z）是平面A1BE的一个法向量，

则，∴，∴，

取x=1，得平面A1BE的一个法向量为=（1，1，1），

又DA⊥平面A1B1B，∴=（1，0，0）是平面A1B1B的一个法向量，

∵cos〈，＞=，且二面角B1-A1B-E为锐二面角，

∴二面角B1-A1B-E的大小为arccos．

解：（1）以DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，

建立如图所示空间直角坐标系，可得

A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，1，），F（1，2，）

∴=（-1，2，），=（-1，-1，）

可得•=-1×（-1）+2×（-1）+×=0

因此⊥，即AF和BE所成的角为90°；

（2）∵长方体AC中，AA1∥BB1，

∴BB1与平面BEC1所成角等于AA1与平面BEC1所成角．

设点B1到平面BEC1的距离等于d，则

V=V，即S×d=S×BB1

∵BE====2，EC1=A1C1=，∠BEC1=90°

∴S=BE×EC1=

∵S==1，

∴×d=×1×，解之得d=1．

设BB1与平面BEC1所成角为α，则sinα==，得α=45°，

∴BB1与平面BEC1所成角为45°，即AA1与平面BEC1所成角等于45°．

（1）证明：连接OC，交AB于点D，O为△ABC的外心，AB=BC=1，OA=OB，OC=0C，故△OAC≌△OBC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=60°．

故△OAC和△OBC 都是等边三角形，故平行四边形ACBO为菱形，故OB与AC平行且相等．

再由AC⊊平面PAC，OB不在平面PAC内，可得BO∥平面PAC．

（II）∵PC⊥平面AMB，∴PC⊥DM，直角三角形POC中，PO=，OC=1，∴PC=．

由△POC∽△CMD，D为OC中点可得，CM=，建立如图所示的空间坐标系，则得O（0，-，0），A（，0，0），B（-，0，0），M（0，，）．

∴=（-，0，0），=（-，，），=（-，，0），=（0，，）．

设平面MAB的法向量为=（x，y，z），由 解得=（0，1，-）．

设平面OMB的法向量为=（x′，y′，z′），由 解得=（1，，-4）．

故cos＜，＞===，故sin＜，＞=，故二面角A-BM-O的正弦值为．

解：（Ⅰ）∵A1B1=A1C1，点D1是棱B1C1的中点．

∴A1D1⊥B1C1，

又∵BB1⊥平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，

又∵BB1∩B1C1，

∴A1D1⊥平面BB1C1C．

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB=AC=AA1=2，

∴A（0，0，0），A1（0，0，2），C（0，-2，0），C1（0，-2，2），B1（-2，0，2），D1（-1，-1，2）．

=（0，2，2），=（-1，1，2），

设平面A1D1C的法向量，

则即，

令y=-1，则z=1，x=1，∴．

设，0≤λ≤1，

∵=（-2，0，0），∴=（-2λ，0，0），P（-2λ，0，2），=（-2λ，0，2）．

∵直线AP与平面A1D1C所成角的正弦值为，

∴===，

化为3λ2-10λ+3=0，解得或3．

∵0≤λ≤1，

∴，即．