热门试卷

解：（Ⅰ）以D点为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…（1分）

可得，．

∴，，

由此可得，

即，可得AM⊥PM．                …（4分）

（Ⅱ）设平面PAM的一个法向量为，

则，即解得，

取y=1，得，…（6分）

∴AD与平面AMP所成角θ的正弦值

sinθ=|cos＜，＞|==．                …（9分）

（Ⅲ）由（II），向量是平面PAM的一个法向量，

∵平面AMD的法向量为，可得cos＜，＞===

∴向量，的所成角等于45°，观察图形可得：二面角P-AM-D的大小等于45°．…（13分）

解：以D为从标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．设AB=a，

则A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），…（2分）

（1）由题意可得：=0×0+1×2+1×（-2）=0，=0×a+1×2+1×（-2）=0

∴EF⊥PA，EF⊥PB．

∴EF⊥平面PAB．…（6分）

（2）AB=2=（0，1，1）．

设平面AEF的法向量n=（x，y，z），

则

令y=1，则x=…（9分）

又．…（11分）

所以sinθ=1cos＜．…（12分）

（I）证明：如图，

以A为坐标原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系．

A（0，0，0），G（，，0），C（0，1，1），B（0，1，0）

，，

∴AG⊥BG，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCG；

（Ⅱ）解：法一、

设面ACG的法向量为=（x，y，z）

则•=x+y=0

•=y+z=0

取x=1，得=（1，-1，1）

而=（，0，0）

所以，cos＜，＞==

所以直线BE与平面ACG所成角的正弦值为

法二、

由（I）AG⊥平面BCG，平面ACG⊥平面BCG

作BH⊥GC，∴BH⊥面ACG，延长AG、BE交于K，连HK，

所以∠KHB即为直线BE与平面ACG所成角．

由（I）知，AG⊥平面BCG；，故AG⊥BG，

AF=BE= AB．

BG=AB，

BH===AB．

sin∠KHB==

所以直线BE与平面ACG所成角的正弦值为．

解：在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）

由题意有A（，，0），设P（0，0，z0），（z0＞0），

则M（0，1，z0），=，，

由直线AM与直线PC所成的角为60°，得，

即，解得z0=1，

∴=（0，1，1），，

设平面MAC的一个法向量为，

则，即，取x1=1，得=（1，，-）．          

平面ABC的法向量为，∴，

又∵二面角M-AC-B为锐角，∴二面角M-AC-B的平面角余弦值为．