热门试卷

解：（Ⅰ）连结AB1，交A1B于点O，连结OD，

∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=BC=3，

∴ABB1A1是正方形，∴O是AB1的中点，

∵D是AC的中点，∴OD是△ACB1的中位线，∴OD∥B1C，

∵B1C不包含于平面A1BD，OD⊂平面A1BD，

∴B1C∥平面A1BD．

（Ⅱ）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，

以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点，

∴A1（-1，0，3），B（0，2，0），

D（0，0，0），B1（0，2，3），

∴=（-1，0，3），=（0，2，0），=（0，2，3），

设平面A1BD的法向量，则，，

∴，∴=（3，0，1），

设平面B1BD的法向量=（x1，y1，z1），则，，

∴，∴=（1，0，0），

设二面角A1-BD-B1的平面角为θ，

cosθ=|cos＜＞|=||=．

∴二面角A1-BD-B1的余弦值为．

解：（ I ）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°

∴CA、CB、CC1两两互相垂直，

因此，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间坐标系，如图所示．

则A（1，0，0），B（0，1，0），A1 （1，0，2），B1 （ 0，1，2），

C1（0，0，2），M（，，2），N（1，0，1），

∴=（1，-1，1），=（，，0），

∴•=1×+（-1）×+1×0=0，

可得⊥，即NB⊥C1M；

（II）由（I）得：=（1，-1，2），=（ 0，1，2）． 

∴cos＜，＞===

即cos＜，＞的值为；

（III）取CC1的中点H，连线NH、NC，则NH∥CA

∵∠BCA=90°，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA是A-CC1-B的平面角

∴平面AA1C1C⊥平面BB1C1C，

结合BC⊥CC1可得BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥CN

∴∠NCH就是平面BNC与平面BCC1B1所成二面角的平面角

Rt△NCH中，NH=1，CH=CC1=1，所以∠NCH=45°

因此，平面BNC与平面BCC1B1所成的角的余弦值等于cos45°=．