用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，侧棱长为，点D在棱A1C1上．

（1）若A1D=DC1，求证：直线BC1∥平面AB1D；

（2）求AB1与侧面BCC1B1所成角的大小；

（3）请在棱A1C1确定点D的位置，使二面角A1-AB1-D的平面角为，并证明你的结论．

正确答案

解：（1）证明：连接A1B交AB1于E点，

在平行四边形ABB1A1中，有A1E=BE，又A1D=DC1

∴DE为△A1BC1的中位线，从而DE∥BC1，

又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，

∴直线BC1∥平面AB1D

（2）取BC中点F，连AF，B1F

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，

又AC=a，BC=a，AB=a知AF⊥BC，∴AF⊥面BCC1B1

又F为BC中点，∴DF=，⊥面BCC1B1

∴AB1在平面BCC1B1内的射影为FB1

∴AB1与平面BCC1B1的所成角为∠AB1F

在RT△FB1A中，B1B=，BF==，

∴∠AB1F=45°．

（3）连接MN，过A1作A1F⊥AB1于F．

由（2）中的作法可知：∠MND为二面角A1-AB1-D平面角，

设=λ，则=，

则可得DM=λ，A1F=a，=1-⇒MN=（1-），

∴tanθ===-3+．∴-3+=1⇒λ=

即点D在棱A1C1上，且=时，

二面角A1-AB1-D平面角的正切值的大小为．

解析

解：（1）证明：连接A1B交AB1于E点，

在平行四边形ABB1A1中，有A1E=BE，又A1D=DC1

∴DE为△A1BC1的中位线，从而DE∥BC1，

又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，

∴直线BC1∥平面AB1D

（2）取BC中点F，连AF，B1F

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，

又AC=a，BC=a，AB=a知AF⊥BC，∴AF⊥面BCC1B1

又F为BC中点，∴DF=，⊥面BCC1B1

∴AB1在平面BCC1B1内的射影为FB1

∴AB1与平面BCC1B1的所成角为∠AB1F

在RT△FB1A中，B1B=，BF==，

∴∠AB1F=45°．

（3）连接MN，过A1作A1F⊥AB1于F．

由（2）中的作法可知：∠MND为二面角A1-AB1-D平面角，

设=λ，则=，

则可得DM=λ，A1F=a，=1-⇒MN=（1-），

∴tanθ===-3+．∴-3+=1⇒λ=

即点D在棱A1C1上，且=时，

二面角A1-AB1-D平面角的正切值的大小为．

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题型：简答题

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简答题

长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点．

（1）求证：直线AE⊥平面A1D1E；

（2）求三棱锥A-A1D1E的体积；

（3）求二面角E-AD1-A1的平面角的大小．

正确答案

解：（1）依题意：AE⊥A1E，AE⊥A1D1，则AE⊥平面A1D1E．

（2）．

（3）取AA1的中点O，连OE，则EO⊥AA1、EO⊥A1D1，

所以EO⊥平面ADD1A1．

过O在平面ADD1A1中作OF⊥AD1，交AD1于F，连EF，则AD1⊥EF，

所以∠EFO为二面角E-AD1-A1的平面角．

在△AFO中，．

∴．

解析

解：（1）依题意：AE⊥A1E，AE⊥A1D1，则AE⊥平面A1D1E．

（2）．

（3）取AA1的中点O，连OE，则EO⊥AA1、EO⊥A1D1，

所以EO⊥平面ADD1A1．

过O在平面ADD1A1中作OF⊥AD1，交AD1于F，连EF，则AD1⊥EF，

所以∠EFO为二面角E-AD1-A1的平面角．

在△AFO中，．

∴．

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题型：填空题

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填空题

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为______．

正确答案

解析

解：建立如图所示的坐标系，则B1（2，2，2），N（0，2，1），B（2，2，0），D（0，0，0），M（0，1，2）．

设平面BDM的法向量为=（x，y，z），则

∵=（2，2，0），=（0，1，2），

∴，

∴=（2，-2，1），

∵=（-2，0，-1），

∴直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为||=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB，M是PB的中点

（Ⅰ）求直线AC与直线PB所成的角的余弦值；

（Ⅱ）求直线AB与面ACM所成角的正弦值．

正确答案

解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．

（1）因=（1，1，0），=（0，2，-1）

||=，|=，|

所以cos＜，＞==．

所以，AC与PB所成的角余弦值为．

（2）∵M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0），=（0，2，0），

∴面ACM的法向量为=（x，y，z），

，，=（1，-1，2），

∴cos＜，＞==，

∴直线AB与面ACM所成角的正弦值．

解析

解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．

（1）因=（1，1，0），=（0，2，-1）

||=，|=，|

所以cos＜，＞==．

所以，AC与PB所成的角余弦值为．

（2）∵M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0），=（0，2，0），

∴面ACM的法向量为=（x，y，z），

，，=（1，-1，2），

∴cos＜，＞==，

∴直线AB与面ACM所成角的正弦值．

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题型：简答题

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简答题

如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）求证：AB∥平面DEF；

（2）求二面角B-DF-E的余弦值；

（3）当点P在线段BC什么位置时，AP⊥DE？并求点C到平面DEP的距离．

正确答案

（1）证明：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，

又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．

∴AB∥平面DEF．

（2）解：∵AD⊥CD，BD⊥CD

∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角

∴AD⊥BD

∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD

∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角

在Rt△EMN中，EM=1，MN=，EN=，

∴cos∠MNE=．

∴二面角B-DF-E的余弦值为-；

（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE

证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC，

过P作PQ⊥CD于Q，

∵AD⊥平面BCD

∴PQ⊥平面ACD

∴DQ=DC=，

∴tan∠DAQ==，∴∠DAQ=30°

在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE

∵PQ⊥平面ACD

∴AP⊥DE．AQ∩AP=A

∴DE⊥平面APQ，

∴AP⊥DE．

此时BP=BC．

解析

（1）证明：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，

又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．

∴AB∥平面DEF．

（2）解：∵AD⊥CD，BD⊥CD

∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角

∴AD⊥BD

∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD

∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角

在Rt△EMN中，EM=1，MN=，EN=，

∴cos∠MNE=．

∴二面角B-DF-E的余弦值为-；

（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE

证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC，

过P作PQ⊥CD于Q，

∵AD⊥平面BCD

∴PQ⊥平面ACD

∴DQ=DC=，

∴tan∠DAQ==，∴∠DAQ=30°

在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE

∵PQ⊥平面ACD

∴AP⊥DE．AQ∩AP=A

∴DE⊥平面APQ，

∴AP⊥DE．

此时BP=BC．

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正确答案

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