- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
（Ⅰ）求直线PC与平面PAD所成的角；
（Ⅱ）是否存在点M使直线BD⊥平面MAE？若存在，求出
正确答案
解：（Ⅰ）过点C作CF⊥AD于F，连接PF，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CF⊥侧面PAD，
于是∠CPF是直线PC与平面PAD所成的角．
由条件得，CF=1，
在三角形PDF中，∵PD=DF=1，∠PDF=120°，
∴PF=
在直角△PFC中，tan∠CPF=
∴∠CPF=30°，
即直线PC与平面PAD所成的角为30°．
（Ⅱ）假设存在点M使直线BD⊥平面MAE．
要使BD⊥平面MAE，∵ABED为正方形，∴AE⊥BD，∴只需BD⊥OM，
在△PBD中，PD=1，PB=BD=
cos∠PBD=
∴BM=
故存在点M使直线BD⊥平面MAE，且
解析
解：（Ⅰ）过点C作CF⊥AD于F，连接PF，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CF⊥侧面PAD，
于是∠CPF是直线PC与平面PAD所成的角．
由条件得，CF=1，
在三角形PDF中，∵PD=DF=1，∠PDF=120°，
∴PF=
在直角△PFC中，tan∠CPF=
∴∠CPF=30°，
即直线PC与平面PAD所成的角为30°．
（Ⅱ）假设存在点M使直线BD⊥平面MAE．
要使BD⊥平面MAE，∵ABED为正方形，∴AE⊥BD，∴只需BD⊥OM，
在△PBD中，PD=1，PB=BD=
cos∠PBD=
∴BM=
故存在点M使直线BD⊥平面MAE，且
正确答案
解析
设点C在平面ABDE内的射影为O，连结CO、OH、CH
∵CH是等边三角形ABC的中线，∴CH⊥AB
∵CO⊥平面ABDE，得OH是CH在平面ABDE内的射影
∴OH⊥AB，得∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角
设AB=2，则等边△ABC中，CH=
Rt△COH中，cos∠OHC=
由此可得点O是正方开ABDE的中心，可得四棱锥C-ABDE是所有棱长均为2的正四棱锥
等边△ACE中，
∴
∵∠DEA=90°，得
∴
可得cos＜
由此结合两条直线所成角的定义，可得直线EM、DE所成角的余弦值等于
正确答案
解析
∵EF⊥BC，CC1⊥BC
∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD
∴EF⊥平面ABCD，
∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）
由题意，得EF=
∵
∵EF⊥DF，∴
故答案为
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）设F、M分别为PC、DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．
正确答案
∴AE=AD，
∴∠BAD=60°，
∴△ADE为正三角形，
∴∠AED=60°，
∵BE=BC，∠CBE=120°，
∴∠CEB=30°，
∴CE⊥DE，
∵平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，
∴CE⊥平面PDE，
∴平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）解：取PE中点G，连接FG，则
∵F为PC的中点，
∴FG∥CE，
∴FG⊥平面PDE，
连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角．
设AD=2，则GM=
在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120°，则
CE2=4+4-2•2•2cos120°=12，∴CE=2
∴FG=
在直角△FGM中，tan∠FMG=
∴∠FMG=60°，
∴直线MF与平面PDE所成的角为60°．
解析
∴AE=AD，
∴∠BAD=60°，
∴△ADE为正三角形，
∴∠AED=60°，
∵BE=BC，∠CBE=120°，
∴∠CEB=30°，
∴CE⊥DE，
∵平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，
∴CE⊥平面PDE，
∴平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）解：取PE中点G，连接FG，则
∵F为PC的中点，
∴FG∥CE，
∴FG⊥平面PDE，
连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角．
设AD=2，则GM=
在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120°，则
CE2=4+4-2•2•2cos120°=12，∴CE=2
∴FG=
在直角△FGM中，tan∠FMG=
∴∠FMG=60°，
∴直线MF与平面PDE所成的角为60°．
正确答案
解析
解：设正四面体ABCD的棱长为a，连接AE，DE，
∵四面体ABCD为正四面体，E为BC的中点，
∴AE=DE=
过O作OH垂直平面BCD，交平面BCD与H点，则H落在DE 上，
∴∠OED为直线OE与平面BCD所成角，∠OED=
在△AED中，cos∠AED=
=
∴cos2∠OED=cos
∴tan2∠OED=
故答案为
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