- 众数、中位数、平均数
- 共226题
某省高三数学竞赛初赛考试后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），现随机抽取一定容量的样本，将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100)、第二组[100，110)，…，第六组[140，150]。如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人，
（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；
（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，他们的成绩分别为x，y，记：“|x-y|≥10”为事件A，试求事件A的概率P；
（3）若用此样本去估计这个省考生成绩情况，随机从这省考生（人数很多）中任选3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望。
正确答案
解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为x，y，
则
由①②解得x=0.15，y=0.10，
从而得出直方图（如图所示），
（Ⅱ）依题意第四组人数为
（Ⅲ）依题意样本总人数为
成绩不低于120分人数为
故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率为
又由已知ξ的可能取值为0，1，2，3，
故ξ的分布列如下：
∵
∴
为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果。（疱疹面积单位：mm2）
（I）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。
附：
正确答案
解：（I）如图，
从图中可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，
而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，
所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数；
（Ⅱ）如图，
由于K2>10. 828，
所以有99. 9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。
某校高二年级的一次数学统考中，随机抽取100名同学的成绩，数据按如下方式分组：(40，50] ，(50，60]， (60，70]，(70，80]，(80，90]， (90，100]，得到频率分布直方图如下：
（1）若该校高二学生有1000人，试估计这次统考该校高二学生的分数在区间(60，90]内的人数；
（2）根据样本的频率分布直方图，估计该校高二年级学生这次数学统考成绩的平均数和中位数（精确到0.01）。
正确答案
解：（1）由频率分布直方图得，分数在区间(60，90]的频率为0.83，
则高二学生的分数在区间(60，90]内的人数为
（2）根据样本的频率分布直方图，可估算样本平均数为
由图可判断中位数落在区间（70，80）内，设为x，
可得
由样本的平均数和中位数可估计总体的平均数为78.10，中位数为78.68。
某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4 次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列。
（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；
（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是75）作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；
（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数。
正确答案
解：（1）设第五、六组的频数分别为
由题设得，第四组的频数是
则
又
即
∴
补全频率分布直方图：
（2）该校高一学生历史成绩的平均分
（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：
某校高一年级共有学生320人，为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间（指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间）情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查，根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据（单位：分钟），按照以下区间分为七组：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40， 50），⑥[50，60），⑦[60，70]，得到频率分布直方图如图，已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人。
（1）求n的值；
（2）若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时问少于45分钟，则学校需要减少作业量，根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？（注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）。
（3）问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7 名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人，求第3组中至少有一名学生被选聘为学情调查联系人的概率。
正确答案
解：（1）由频率分布直方图知第1组和第2组的频率分别是0.02 和0.06
则n×（0.02+0.06）=4，解得n=50。
（2）设第i组的频率和频数分别是Pi和xi，
由图知P1=0.02，P2=0.06，P3=0.3，P4=0.4，P5=0.12，P6=0.08，P7=0.02，
则由xi=50×Pi可得x1=1，x2=3，x3=15，x4=20，x5=6，x6=4，x7=1
则高一学生每天平均自主支配时间是
则学校应该想办法适当减少教师的作业布置量。
（3）第3组和第4组的频数分别是15和20，
用分层抽样的方法抽取7人，则第3组应抽
第4组应抽
设第3组中被抽到的3名学生分别是甲、乙、丙，第4组被抽到的4 名学生分别是a，b，c，d
则从7人中抽取2人的基本事件空间Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（甲，d），（乙，丙），（乙，a），（乙，b）．（乙，c），（乙，d），（丙，a），（丙，b），（丙，c），（丙，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共21个基本事件
其中事件A=“第3组中至少有1人被选聘”共含有15个基本事件，
则
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