- 曲线运动
- 共20011题
一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动，用下面的方法测量它匀速转动时的角度速．
实验器材：电磁打点计时器，米尺，纸带，复写纸片．
实验步骤：
（1）如图（1）所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上．
（2）启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点．
（3）经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量．
①由已知量和测得量表示的角速度的表达式为ω=______，式中各量的意义是：______．
②某次实验测得圆盘半径r=5.50×10-2m，得到的纸带的一段如图（2）所示，求得角速度为______．
正确答案
（3）①根据运动学公式得：
纸带的速度v=
根据圆周运动的知识得：
ω=
其中T为电磁打点计时器打点的时间间隔，
r为圆盘的半径，x2、x1是纸带上选定的两点分别对应的米尺上的刻度值，
n为选定的两点间的打点数（含两点）
②半径r=5.50×10-2m，根据纸带选取一段研究，纸带上选取两点间隔尽可能大些．
ω=
故答案为：①
②6.8rad/s
如图所示，一个水平放置的圆桶绕水平轴O1O2匀速转动，桶的半径R=2m，桶壁很薄，壁上有一小圆孔P，当圆孔运动到桶的正上方时，在孔的正上方h=3.2m处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径．试求：要使小球在整个下落过程中都不与桶壁碰撞，圆桶转动的角速度的所有可能值．
正确答案
设小球下落h所用时间t1，经过圆桶所用时间为t2，则h=
解得t1=0.8 s
h+2R=
解得t2=0.4 s
设圆桶的运动周期为T，故有：
nT=t1（n=1，2，3，…）
（m-
解得：T=
且T=
故T=
角速度为：ω=
答：要使小球在整个下落过程中都不与桶壁碰撞，圆桶转动的角速度的可能值为：ω=
如图所示，一个人用一根长1m，只能承受46N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动．已知圆心O离地面h=6m，转动中小球在最低点时绳子断了．
求：（1）绳子断时小球运动的角速度多大？
（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离．
正确答案
（1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律和向心力的公式可得，
F-mg=mrω2，
所以ω=
（2）由V=rω可得，绳断是小球的线速度大小为V=6m/s，
绳断后，小球做平抛运动，
水平方向上：x=V0t
竖直方向上：h=
代入数值解得 x=6m
小球落地点与抛出点间的水平距离是6m．
答：（1）绳子断时小球运动的角速度为6rad/s．
（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离为6m．
如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一小球，与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使小球做半径为a、角速度为ω1的匀速圆周运动。若绳子迅速放松至某一长度b而拉紧，小球就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周运动。求：
（1）小球由半径a到b所需的时间；
（2）绳子拉紧后小球的速率。
正确答案
解：小球的运动轨迹如下图所示：
（1）绳子迅速放松时，小球沿原来轨道的切线方向做匀速直线运动至半径为b的新轨道处，距离为
（2）至新轨道后，绳子拉紧，将原来速度va分解，绳子方向速度消失，剩下新轨道切线方向的速度，即新的圆周运动的速度，为
如图所示，相同的两个轮子A、B半径R1=10cm，用传送带相连．C轮半径R2=5cm，与电动机转轴相连．已知电动机的转速n=300r/min，C轮与A轮间、AB轮与皮带间都不打滑．物体P以v0=1m/s的水平初速度从左端滑上传送带，P与传送带间的动摩擦因数μ=0.57，A、B间距离为2m，求：
（1）B轮的角速度是多大？
（2）物体P与传送带间的相对位移是多大？
正确答案
（1）由于不打滑，A、B、C的轮缘有相同的线速度大小，
ωBR1=ωCR2
ωC=2πn=31.4rad/s
代入解得ωB=15.7rad/s
（2）传送带的速度v=ωBR1=1.57m/s＞v0
开始阶段，物体P受向右的滑动摩擦力F=μmg
加速度a=
物体达到与传送带相同速度所用时间t=
这段时间内物体的位移x1=v0t+
相对位移大小△x=vt-x1=0.0285m
答：（1）B轮的角速度是15.7rad/s．
（2）物体P与传送带间的相对位移是 0.0285m．
如图所示，质量m＝1 kg的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，细线所受拉力达到F＝18 N时就会被拉断。当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断。若此时小球距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）绳子断的瞬间小球的速度大小；
（2）小球落地处到地面上P点的距离？（P点在悬点的正下方）
正确答案
解：（1）绳子断的瞬间满足：
代入数据得到：
（2）绳子断后，小球做平抛运动，竖直方向满足：
解得：t=1s
水平方向：x=vt=2m
中国探月卫星“嫦娥二号”从西昌卫星发射中心发射升空，月球探测工程取得圆满成功。我国将在2017 年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并返回地球。假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M 点，并沿水平方向以初速度v0抛出一个质量为m 的小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为α ，已知月球半径为R，月球的质量分布均匀，万有引力常量为G，求：
（1）小球落在斜面上N点时速度的大小。
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度。
正确答案
解：（1）根据
解得
（2）
如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，轨道的压力恰好为零，则小球落地点C距A处多远？
正确答案
解：在B点，由牛顿第二定律得：
解得：
小球平抛运动的时间由
水平距离为：
如图所示，半径为R的光滑圆柱体被固定在水平平台上，圆柱体中心离台边水平距离为0.5R，质量为m1的小球用轻绳跨过圆柱与小球m2相连，开始时将m1控制住放在平台上，两边轻绳竖直。现在释放m1，让m1和m2分别由静止开始运动，当m1上升到圆柱体的最高点时，绳子突然断了，m1恰能做平抛运动，重力加速度为g。求：
(1)m1平抛时的速度v多大？
(2)m2应为m1的多少倍？
(3)m1做平抛运动的过程中，恰能经过与台面等高的B点，求B点离台边的距离sAB多大？
正确答案
解：(1)由牛顿第二定律：若m1恰能平抛，则
得
(2)当m1上升2R到圆柱体最高点时，m2下降
由机械能守恒
得
(3)平抛运动时间
平抛水平距离x=vt=2R
离台边sAB=x-0.5R=1.5R
如图为小孩（质量为M） 用细绳悬挂起来荡秋扦，绳子长为L，最大偏角为θ，求：
（1）小孩摆到最低位置时的速度是多大？
（2）最低位置时绳子的拉力为多大？
正确答案
（1）
（2）Mg（3－cosθ）
如图所示，长为R的轻质杆（质量不计），一端系一质量为m的小球（球大小不计），绕杆的另一端O在竖直平面内做匀速圆周运动，若小球最低点时，杆对球的拉力大小为1.5mg，求：
（1）小球最低点时的线速度大小？
（2）小球通过最高点时，杆对球的作用力的大小？
（3）小球以多大的线速度运动，通过最高处时杆对球不施力？
正确答案
解：（1 ）小球过最低点时受重力和杆
由向心力公式知T－G＝
解得
（2）小球以线速度
小球所受重力G和支持力FN
G －FN＝
解得FN＝
（3）小球过最高点时所需的向心力等于重力时杆对球不施力
解得
如图所示，位于竖直面内的曲线轨道的最低点B的切线沿水平方向，且与一位于同一竖直面内、半径R=0.40m的光滑圆形轨道平滑连接。现有一质量m=0.10kg的滑块（可视为质点），从位于轨道上的A点由静止开始滑下，滑块经B点后恰好能通过圆形轨道的最高点C。已知A点到B点的高度h=1.5m，重力加速度g=10
m/s2，空气阻力可忽略不计，求：
（1）滑块通过C点时的速度大小；
（2）滑块通过圆形轨道B点时对轨道的压力大小；
（3）滑块从A点滑至B点的过程中，克服摩擦阻力所做的功。
正确答案
解：（1）因滑块恰能通过C点，即在C点滑块所受轨道的压力为零，其只受到重力的作用。设滑块在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律，对滑块在C点有 mg=mvC2/R
解得vC=
（2）设滑块在B点时的速度大小为vB，对于滑块从B点到C点的过程，根据机械能守恒定律有 
滑块在B点受重力mg和轨道的支持力FN，根据牛顿第二定律有 FN－mg=mvB2/R
联立上述两式可解得 FN=6mg=6.0N
根据牛顿第三定律可知，滑块在B点时对轨道的压力大小FN′=6.0N
（3）设滑块从A点滑至B点的过程中，克服摩擦阻力所做的功为Wf，对于此过程，根据动能定律有 mgh－Wf=
解得Wf=mgh－
如图所示，半径为R的水平圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，若在圆心O正上方h处沿与半径OB平行的方向水平抛出一个小球，要使球做平抛运动的落点为B，求：
（1）小球做平抛运动的初速度v；
（2）圆盘转动的角速度ω．
正确答案
（1）要使小球与盘只碰一次球的水平位移要为R，对平抛的小球：
水平方向：R=vt…①
竖直方向：h=
①②联立得：v=R
（2）要使小球落到B处，则小球在下落的这段时间内，B点刚好转了整数圈则：
ωt=2kπ（k=1、2、3…）…③
②③联立得：ω=2kπ
答：1）小球做平抛运动的初速度v=R
（2）圆盘转动的角速度为2kπ
1920年科学家史特恩测定气体分子速率的装置如图所示，A、B为一双层共轴圆筒形容器，外筒半径为R，内筒半径为r，可同时绕其共同轴以同一角速度ω高速旋转，其内部抽成真空．沿共同轴装有一根镀银的铂丝K，在铂丝上通电使其加热，银分子（即原子）蒸发成气体，其中一部分分子穿过A筒的狭缝a射出到达B筒的内表面．由于分子由内筒到达外筒需要一定时间，若容器不动，这些分子将到达外筒内壁上的b点，若容器转动，从a穿过的这些分子仍将沿原来的运动方向到达外筒内壁，但容器静止时的b点已转过弧长s到达b’点．
（1）测定该气体分子最大速度的大小表达式为______．
（2）采用的科学方法是下列四个选项中的______．
A．理想实验法B．建立物理模型法
C．类比法D．等效替代法．
正确答案
（1）气体分子运动和转盘转动同时发生，互不影响；
气体分子运动时间为：t=
转盘边缘上点线速度为，故转动时间为：t=
两个运动同时发生，故t=
解得
v=
（2）水银蒸发成气体后，分子做匀速直线运动，认为速度都相同，是建立的理想模型；故ACD错误，B正确；
故答案为：（1）
一对双星，是由相距L、质量分别为M1和M2的两颗星体构成，两星间引力很大但又未吸引到一起，是因为它们以连线上某点为圆心做圆周运动的结果，如图所示，试求它们各自运转半径和角速度各是多少？
正确答案
（1）根据万有引力提供向心力得：
G
G
所以上面①②两式相比得到
又因为L=R1+R2
所以解得：R1=
R2=
（2）①②相加得到
G
因为L=R1+R2
所以ω=
答：它们的轨道半径分别为：R1=
它们的角速度是ω=
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