热门试卷

解：（Ⅰ）如图甲，过S作SH⊥RT于H，

，

由题意，△RST在月牙形公园里，

RT与圆Q只能相切或相离；

RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，

则有RT≤4，SH≤2，

当且仅当RT切圆Q于P时（如图乙），

上面两个不等式中等号同时成立，

此时，场地面积的最大值为

；

（Ⅱ）同（Ⅰ）的分析，要使得场地面积最大，

AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，

AD必须切圆Q于P（如图丙），

再设∠BPA=θ，则有

，

令y=sinθ+sinθcosθ，

则y′=cosθ+cosθcosθ+sinθ（-sinθ）=2cos2θ+cosθ-1，

若y′=0，，

又时，y′＞0，时，y′＜0，

函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值，

故时，场地面积取得最大值为。

解：（1）依题意，可得圆心C（a，2），半径r=2，

则圆心到直线：x-y+3=0的距离，

由勾股定理，可知，

代入，化简得，

解得：=1或=-3，

又>0，所以=1。

（2）由（1）知，圆C：，

又（3，5）在圆外，

∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为，

由圆心到切线的距离d=r=2，可解得，

∴切线方程为；

②当过（3，5）的直线的斜率不存在时，直线方程为x=3，此时直线与圆相切；

综上，由①②可知，切线方程为或x=3。

解：（1）过点O做OG⊥AB于G，连结OA，

当α=135°时，直线AB的斜率为-1，

故直线AB的方程x+y-1=0，

∴OG=，

∵r=，

∴，。

（2）当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时kOP=，

∴AB的点斜式方程为，即。

（3）设AB的中点为M（x，y），AB的斜率为k，OM⊥AB，

则，

消去k，得，

当AB的斜率k不存在时也成立，

故过点P的弦的中点的轨迹方程为。

解：假设存在直线，设其方程为y=x+b，

解方程组，

得2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0，                                        ①

设A (x1，y1)， B (x2，y2)， 则x1+x2=-b-1，x1x2=，

∴y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=+b(-b-1)+b2=，

又OA⊥OB，

∴x1x2+y1y2=0，

∴，

解得b=1或b=-4，

把b=1和b=-4分别代入①式，验证判别式均大于0，

故存在b=1或b=-4，

所以存在满足条件的直线方程x-y+1=0 或x-y-4=0。