- 直线与圆的位置关系
- 共1189题
已知m∈R，直线l：mx﹣（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2﹣8x+4y+16=0．
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为
正确答案
解：（1）直线l的方程可化为
此时斜率
∵△≥0，
∴1﹣4k2≥0，
所以，斜率k的取值范围是
（2）不能．由（1）知l的方程为y=k（x﹣4），其中
圆C的圆心为C（4，﹣2），半径r=2；
圆心C到直线l的距离
由
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于
l不能将圆C分割成弧长的比值为
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。
正确答案
解：（1）∵椭圆C：
且经过点P（1，
∴
∴椭圆C的方程为
（2）易求得F（1，0），
设M（x0，y0），则
圆M的方程为
令x=0，化简得
将
（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2，
由（2），得
当
选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E，D，连接EC，CD．
（I）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）若tanE=
正确答案
（I）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∴OC⊥AB．
∴AB是圆O的切线；（3分）
（II）由ED为圆O的直径，得到∠ECD=90°，
在直角三角形中，
根据三角函数定义得：tanE=
∵∠B=∠B，∠BCD=∠E，
∴△BCD∽△BEC，
∴
设BD=x，则BC=2x．（6分）又BC2=BD•BE，
∴（2x）2=x（x+6）．（8分）
解得x1=0，x2=2．
由BD=x＞0，∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．（12分）
已知过点P（﹣2，﹣2）作圆x2+y2+Dx﹣2y﹣5=0的两切线关于直线x﹣y=0对称，设切点分别有A、B，求直线AB的方程．
正确答案
解：由题意可知，圆的圆心在直线x﹣y=0上，或在过P（﹣2，﹣2）
且与直线x﹣y=0垂直的直线上，圆的圆心坐标为（﹣
（1）若圆心在直线x﹣y=0上，
则﹣
此时圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣5=0①；
又以（1，1），（﹣2，﹣2）为直径的圆的方程为：
（x﹣1）（x+2）+（y﹣1）（y+2）=0，
即x2+y2+x+y﹣4=0②，
∴由①②可得故直线AB方程为：3x+3y+1=0；
（2）若圆心在过P（﹣2，﹣2）且与直线x﹣y=0垂直的直线上，
则圆心所在的直线l?的方程为：y﹣（﹣2）=﹣[x﹣（﹣2）]，
即x+y+4=0，
∵圆心坐标（﹣
解得D=10，故圆心坐标为（﹣5，1），
∴圆的方程为：x2+y2+10x﹣2y﹣5=0，
即（x+5）2+（y﹣1）2=21，
而得点P（﹣2，﹣2）在圆内，故无切线方程；
综上所述，直线AB的方程为：3x+3y+1=0．
已知直线C1：
（1）当
（Ⅱ）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
正确答案
解：（1）当
C2的普通方程为x2+y2=1
联立方程组
解得C1与C2的交点为（1，0），
（2）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0
A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
P点轨迹的普通方程为
故P点轨迹是圆心为
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