- 直线与圆的位置关系
- 共1189题
设直线3x+y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。
正确答案
解：由3x+y+m=0得：y=-3x-m ，
代入圆方程得：
设P、Q两点坐标为P（x1，y1）、Q（x2，y2），
则x1+x2=
∵OP⊥OQ，
∴
∴x1·x2+（-3x1-m）（-3x2-m）=0，
整理得：10x1·x2+3m（x1+x2）+m2=0，
∴
解得：m=0或m=
又△=（6m+7）2-40（m2+2m）=-4m2+4m+49，
当m=0时，△＞0；
当m=
∴m=0或m=
已知直线l：kx-y-3k=0与圆：x2+y2-8x-2y+9=0。
（1）求证：直线l与圆M必相交；
（2）当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值。
正确答案
解：（1）“略”；
（2）k=-1。
已知曲线C1：
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′，写出C1′，C2′的参数方程，C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
正确答案
解：（Ⅰ）C1是圆，C2是直线，
C1的普通方程为
C2的普通方程为
因为圆心C1到直线
所以C2与C1只有一个公共点．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
化为普通方程为：
联立消元得
其判别式
所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同。
已知定点A（0，-1），点B在圆F：x2+（y-1）2=16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若曲线Q：x2-2ax+y2+a2=1被轨迹E包围着，求实数a的最小值．
正确答案
（1）由题意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为
则2a=4，a=2，a2-b2=c2=1，故b2=3，
∴点p的轨迹方程为
（2）曲线Q：x2-2ax+y2+a2=1化为（x-a）2+y2=1，则曲线Q是圆心在（a，0），半径为1的圆．
而轨迹E：
∵曲线Q被轨迹E包围着，则-
∴a的最小值为-
过点M（3，0）作直线l与圆：x2+y2=16交于A，B两点，求l的斜率，使△AOB面积最大，并求此最大面积．
正确答案
解：要使△AOB面积最大，则应有∠AOB=90°，
此时O到直线AB的距离d=
又直线AB的方程y=k（x﹣3），
∴ 
此时三角形△AOB面积有最大值8．
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