直线与圆的位置关系
共1189题

· 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为，求直线l被曲线C所截的弦长。

正确答案

解：将方程（t为参数）化为普通方程3x+4y+1=0，

将方程化为普通方程，

表示圆心为，半径为的圆，

则圆心到直线的距离，

弦长。

题型：简答题

简答题

已知点P（x，y）在圆x2+（y-1）2=1上运动，

（1）求的最大值与最小值；

（2）求2x+y的最大值与最小值。

正确答案

解：（1），

，

由，解得：，

所以的最大值为，最小值为-。

（2）令b=2x+y，整理得 2x+y-b=0，

由，解得：，

所以2x+y的最大值为，最小值为。

题型：简答题

简答题

（选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度。

正确答案

解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为，

即，它表示以（0，3）为圆心，3为半径的圆，

直线方程l的普通方程为，

圆C的圆心到直线l的距离d=1，

故直线l被曲线C截得的线段长度为。

题型：简答题

简答题

已知直线l：y=kx+1与圆C：x2+y2-4x-6y+12=0相交于M，N两点，

（1）求k的取值范围；

（2）若O为坐标原点，且，求k的值。

正确答案

解：（1），

，

∴；

（2）设，

则

，

又，，

∴原式，

解得k=1。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），则称以原点为圆心，r=的圆为椭圆C的“知己圆”．

（Ⅰ）若椭圆过点（0，1），离心率e=；求椭圆C方程及其“知己圆”的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，若过点（0，m）且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2，求m的值；

（Ⅲ）讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系．

正确答案

（Ⅰ）∵椭圆C过点（0，1），∴+=1，可得b=1，

又∵椭圆C的离心率e=，即=，且a2-c2=b2=1 …（2分）

解之得a2=3，c2=2

∴所求椭圆C的方程为：+y2=1 …（4分）

由此可得“知己圆”的半径r==

∴椭圆C的“知己圆”的方程为：x2+y2=2 …（6分）

（Ⅱ）设过点（0，m）、且斜率为1的直线方程为y=x+m，即为x-y+m=0

∵直线截其“知己圆”的弦长l=2，

∴圆心到直线的距离为d===1 …（8分）

由点到直线的距离公式，得d==1，解之得m=± …（10分）

（Ⅲ）∵椭圆C的“知己圆”是以原点为圆心，r=的圆

∴椭圆C的“知己圆”方程为x2+y2=c2

因此，①当c＜b时，即椭圆C的离心率e∈（0，）时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C没有公共点，由此可得“知己圆”在椭圆C内；…（12分）

当c=b时，即椭圆的离心率e=时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C有两个

公共点，由此可得“知己圆”与椭圆C相切于点（0，1）和（0，-1）；

当c＞b时，即椭圆C的离心率e∈（0，）时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C有四个公共点，由此可得“知己圆”与椭圆C是相交的位置关系． …（14分）

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