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解：（1）双曲线2x2﹣2y2=1的两个焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），

∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，

∴P点的轨迹是椭圆，其中a=2，c=1，则，

∴C的方程为

（2）设M（x0，y0），d=|x0|，

∵圆M与y轴有两个交点，

∴d＜r，即，

∴，

又，即，

∴，

∴，

∴（3x0﹣4）（x0+4）＜0

∴，

又﹣2≤x0≤2，

∴

解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（﹣，0）、F2（，0），

由题意得：|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2，

∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2=2c，

可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，

因此a=2，c=，则b2=c2﹣a2=1，

所以轨迹L的方程为﹣y2=1；

（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣），

即y=﹣2（x﹣），代入﹣y2=1，

解得：x1=，x2=，

故直线l与双曲线L的交点为T1（，﹣），T2（，），

因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，

故||MT1|﹣|FT1||=|MF|==2，

||MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2，

若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2，

综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（，﹣）．

解：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，

所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．

所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且，p=2，

所以所求的轨迹方程为y2=4x

（2）假设存在A，B在y2=4x上，

所以，直线AB的方程：，

即

即AB的方程为：，

即（y1+y2）y﹣y12﹣y1y2=4x﹣y12即：（y1+y2）y+（16﹣4x）=0，

令y=0，得x=4，所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，

则：，从而：，故b=2，

所以椭圆的标准方程为。

（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K的方程为与圆O：联立消去得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）。

（Ⅲ）设，则，………①

，

∴，即：，

代入①解得：（舍去正值），

∴，所以PQ：x-y+2=0，

从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离，

从而。