- 直线与圆的位置关系
- 共1189题
已知四点O（0，0），
（1）当x0=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
（2）当点P（x0，y0）（x0≠0）在抛物线x2=2y上运动时，
（i）以MP为直径作圆，求该圆截直线
（ii）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B，问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例。
正确答案
解：（1）当x0=3时，
直线PN：
得
所以
所以∠POQ=90°。
（2）（i）以MP为直径的圆的圆心为
所以圆的半径
圆心到直线
故截得的弦长
=2
（ii）总有∠FPB=∠BPA
证明：
所以切线l的方程为
即
令y=0，得
所以点B的坐标为
点B到直线PA的距离为
下面求直线PF的方程
因为
所以直线PF的方程为
整理得
所以点B到直线PF的距离为
所以d1=d2，
所以∠FPB=∠BPA。
（选做题）
坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C极坐标方程为
（1）曲线C和直线l的普通方程；
（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．
正确答案
解：（1）曲线C极坐标方程为
两边同乘以ρ，得ρ2=2（ρsinθ﹣ρcosθ），
化为普通方程为x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣1）2=2．
直线l的参数方程为
①×3+②×4，消去t得直线l的普通方程为：3x+4y+1=0．
（2）由（1），曲线C表示以C（﹣1，1）为圆心，半径为
根据直线和圆的位置关系，圆心C到直线l的距离d=
直线l被曲线C所截得的弦长=2
已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x1，0）、
G（x2，0），求线段EG的长度。
正确答案
解：（1）依题意知，曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线，
∵焦点到准线的距离p=2，
∴曲线C的方程是
（2）∵圆M的半径为
∴其方程为
令y=0，得
则
∴
又∵点M（a，b）在抛物线
∴
∴
∴线段EG的长度是4。
（选做题）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
（1）求圆心的极坐标。
（2）若圆C上点到直线l的最大距离为3，求r的值。
正确答案
解：（1）圆的直角坐标方程：（
圆心坐标为C
圆心C在第三象限，
圆心极坐标为（1，
（2）圆C上点到直线l的最大距离等于圆心C到l距离和半径之和l的直角坐标方程为x+y-1=0，
（选做题）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为
（I）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（II）试判定直线l和圆C的位置关系．
正确答案
解（I）直线l的参数方程为
（II）因为
直线l化为普通方程为
所以直线l与圆C相离．
扫码查看完整答案与解析