直线与圆的位置关系
共1189题

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直线与圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数）.若以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线C的直角坐标方程;

（2）求直线被曲线所截得的弦长.

正确答案

解：(1) 由得：

两边同乘以得：

∴ 即

（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：

题型：简答题

简答题

已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

正确答案

解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+=1．

由得：ρcosθ﹣ρsinθ=0，

即直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0．

（2）圆心（1，0）到直线l的距离为，

则圆上的点M到直线的最大距离为（其中r为曲线C的半径），

．

设M点的坐标为（x，y），

则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y﹣1=0，

则联立方程，

解得，或，

经检验舍去．

故当点M为时，

△ABM面积的最大值为（S△ABM）max=．

题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=2sinθ，

(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；

(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为(3，)，求|PA|+|PB|。

正确答案

解：(Ⅰ)由，得，

即。

(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即，

由于，

故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，

又直线l过点

故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2。

题型：简答题

简答题

选做题

已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线上．

（I）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；

（II）求|PQ|的最小值．

正确答案

解：（I）由消去α得

点P的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）．

即为﹣ρsin（）=10，﹣（ρsinθ+ρcosθ）=10

直角坐标方程为x+y=﹣10．

（II）点P的轨迹是以（1，0）为圆心，以1为半径的上半圆，

当Q为坐标原点时，|PQ|的最小值=5

题型：简答题

简答题

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ），P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足

OQ=OP，点Q的轨迹为C2．

（I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

（ II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．

正确答案

解：（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），

则 ρ= ρ0= ×4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），

点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），

两边同乘以ρ，得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），

C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，

得（tcosφ+1）2+（tsinφ﹣1）2=2，

即t2+2（cosφ﹣sinφ）t=0，

t1=0，t2=sinφ﹣cosφ，

由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，

得sinφ﹣cosφ=0，

因为0≤φ＜π，

所以φ= ．

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