直线与圆的位置关系
共1189题

· 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知抛物线与圆有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l。

（1）求r；

（2）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

正确答案

解：（1）设，对求导得，

故直线的斜率，

当时，不合题意，

所心

圆心为，的斜率

由知，即，

解得，故

所以。

（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为

即若该直线与圆相切，

则圆心到该切线的距离为，

即，

化简可得

求解可得

抛物线在点处的切线分别为，

其方程分别为① ② ③

②－③得，

将代入②得，

故

所以到直线的距离为。

题型：填空题

填空题

若直线l是曲线C：y=x3+x+1斜率最小的切线，则直线l与圆x2+y2=的位置关系为______．

正确答案

由题意得，y′=3x2+1≥1，则直线l的斜率为1，此时x=0，

故切点坐标为p（0，1），

∴直线l的方程为：y-1=x，即x-y+1=0，

则圆x2+y2=的圆心到直线的距离d==，

故此直线与此圆相切，

故答案为：相切．

题型：简答题

简答题

已知平面内一动点 P到定点F(0，)的距离等于它到定直线y=-的距离，又已知点 O（0，0），M（0，1）．

（1）求动点 P的轨迹C的方程；

（2）当点 P（x0，y0）（x0≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，以 M P为直径作圆，求该圆截直线y=所得的弦长；

（3）当点 P（x0，y0）（x0≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，过点 P作x轴的垂线交x轴于点 A，过点 P作（1）中的轨迹C的切线l交x轴于点 B，问：是否总有 P B平分∠A PF？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．

正确答案

（1）根据题意，动点 P是以F(0，)为焦点以y=-为准线的抛物线，

所以p=1开口向上，

所以动点 P的轨迹C的方程为x2=2y

（2）以 M P为直径的圆的圆心（，），|MP|===

所以圆的半径r=，圆心到直线y=的距离d=|-|=|y0|，

故截得的弦长l=2=2

y02+

y02

（3）总有 P B平分∠A PF．

证明：因为y=

所以，y′=x，kl|x=x0=x0．

所以切线l的方程为y=x0x-，

令y=0得x=，

所以B（，0）

所以B到PA的距离为d1=|x0-|=

下面求直线PF的方程，

因为F(0，)

所以直线PF的方程为y-=(x-0)整理得(x02-1)x-2x0y+x0=0

所以点B到直线PF的距离d2===d1

所以 PB平分∠APF．

题型：简答题

简答题

已知实数x、y满足x2+y2+2x-2y=0，求x+y的最小值．

正确答案

原方程为（x+1）2+（y-）2=4表示一个圆的方程，

可设其参数方程为x=-1+2cosθ，y=+2sinθ（θ为参数，0≤θ＜2π），

则x+y=-1+2（sinθ+cosθ）=-1+2sin（θ+），

当θ=，即x=-1-，y=-时，

x+y的最小值为-1-2．

题型：填空题

填空题

从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则这两条切线夹角的余弦值为______．

正确答案

将圆的方程化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，

∴圆心坐标为（1，1），半径r=1，

设过P切线方程的斜率为k，由P（3，2），得到切线方程为y-2=k（x-3），

∴圆心到切线的距离d=r，即=1，

解得：k=0或k=，

设两直线的夹角为θ，由k的值得到tanθ=，

∴cosθ==，

则两条切线夹角的余弦值为．

故答案为：

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