直线与圆的位置关系
共1189题

· 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知定点Q（0，5）和圆C：（x+2）2+（y-6）2=42．

（1）若直线l过Q点且被圆C截得的线段长为4，求直线l的方程；

（2）求过Q点的圆C的弦的中点P的轨迹方程，并指出其轨迹是什么？

正确答案

（1）1°当直线l斜率不存在时，容易知x=0符合题意；…2

2°当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+5，交圆于AB两点，取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB，

∵|AB|=4，r=4，

∴|CM|=2，…4

则由|CM|==2得：k=，故直线l的方程为3x-4y+5=0，…6

∴直线l的方程为：x=0或3x-4y+5=0；…7

（2）设弦中点P（x，y），由题意得：CP⊥QP，…8

∴•=0，而=（x+2，y-6），=（x，y-5）…10

∴•=x（x+2）+（y-6）（y-5）=0，化简整理得：x2+y2+2x-11y+30=0，…11

∴点P的轨迹方程为：：x2+y2+2x-11y+30=0，（（x+2）2+（y-6）2＜16）…13

∴点P的轨迹是以为（-1，）为圆心，为半径的圆，在圆（x+2）2+（y-6）2=16的内部的一段弧…14

题型：填空题

填空题

点P（x，y）在圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上运动，点A（-2，2），B（-2，-2）是平面上两点，则•的最大值______．

正确答案

由圆C：x2+y2-2x-2y+1=0化为（x-1）2+（y-1）2=1，可设x-1=cosα，y-1=sinα，（α∈[0，2π））即P（1+cosα，1+sinα），

∴=（3+cosα，sinα-1），=（3+cosα，3+sinα），

∴•=（3+cosα）2+（sinα-1）（sinα+3）=2sinα+6cosα+7=2sin(α+φ）+7，

当sin（α+φ）=1时，•取得最大值2+7．

故答案为2+7．

题型：填空题

填空题

已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|=1，则•=______．

正确答案

由题意可知△AOB是边长为1的正三角形，

∴•=1×1×cos60°=．

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知圆O的半径是1，pA，pB为该圆的两条切线，那么•的最小值是______．

正确答案

设圆心到直线AB的距离是d，

•=

2cos∠APB

=PA2•

=PA2-AB2

=OP2-1-×4(12-d2)

=op2+2d2-3

≥2-3

故答案为：2-3．

题型：简答题

简答题

设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量=(m，n)，=(1，-3)．

（Ⅰ）求使得事件“⊥”发生的概率；

（Ⅱ）求使得事件“||≤||”发生的概率；

（Ⅲ）使得事件“直线y=x与圆（x-3）2+y2=1相交”发生的概率．

正确答案

（I）由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}；n∈{1，2，3，4，5，6}，

故（m，n）所有可能的取法共6×6=36种（2分）

使得⊥，即m-3n=0，

即m=3n，共有2种（3，1）、（6，2），

所以求使得⊥的概率P==（4分）

（Ⅱ）||≤||即m2+n2≤10，

共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种

使得||≤||的概率P==（8分）

（Ⅲ）由直线与圆的位置关系得，d=＜1，

即＜，

共有，，，，，5种，

所以直线y=x与圆（x-3）2+y2=1相交的概率P=（12分）

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